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東北大学 理学研究科 数学専攻 2019年8月実施 選択問題 [6]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

(X,∥⋅∥X)(X,\|\cdot\|_X) と (Y,∥⋅∥Y)(Y,\|\cdot\|_Y) をバナッハ空間とする。X,YX,Y はノルムが定める位相により位相空間となす。XX から YY への有界線形作用素全体からなる空間 L(X,Y)\mathcal L(X,Y) 上のノルム ∥⋅∥\|\cdot\| を次のように定める。

∥F∥=sup⁡u∈X, ∥u∥X=1∥F(u)∥Y(F∈L(X,Y)).\|F\|=\sup_{\substack{u\in X,\ \|u\|_X=1}}\|F(u)\|_Y\qquad(F\in\mathcal L(X,Y)).

また、次の二条件を満たす L(X,Y)\mathcal L(X,Y) の元の列 {Fn}n=1∞\{F_n\}_{n=1}^\infty を固定する。

  • 任意の u∈Xu\in X に対し {Fn(u)}n=1∞\{F_n(u)\}_{n=1}^\infty は YY で収束する。
  • sup⁡n≥1∥Fn∥<∞\displaystyle\sup_{n\ge1}\|F_n\|<\infty。

作用素 F:X→YF:X\to Y を各 u∈Xu\in X に対し F(u)=lim⁡n→∞Fn(u)F(u)=\lim_{n\to\infty}F_n(u) により定義する。以下の問いに答えよ。

(1) FF は L(X,Y)\mathcal L(X,Y) に属し、次を満たすことを示せ。

∥F∥≤lim inf⁡n→∞∥Fn∥<∞.\|F\|\le\liminf_{n\to\infty}\|F_n\|<\infty.

(2) バナッハ空間 (X,∥⋅∥X)(X,\|\cdot\|_X) のコンパクト集合 KK に対し、次が成り立つことを示せ。

lim⁡n→∞sup⁡u∈K∥Fn(u)−F(u)∥Y=0.\lim_{n\to\infty}\sup_{u\in K}\|F_n(u)-F(u)\|_Y=0.

(3) X=Y=L1(R)X=Y=L^1(\mathbb R) とし、Fn:X→YF_n:X\to Y が次で与えられるときを考える。

Fn(u)(x)=u(x+1n)(u∈X, x∈R).F_n(u)(x)=u\left(x+\frac1n\right)\qquad(u\in X,\ x\in\mathbb R).

このとき lim sup⁡n→∞∥Fn−F∥=0\limsup_{n\to\infty}\|F_n-F\|=0 が成り立つかどうか、理由とともに答えよ。

题目描述​

试卷共8题，选择其中3题作答。

设 (X,∥⋅∥X)(X,\|\cdot\|_X) 和 (Y,∥⋅∥Y)(Y,\|\cdot\|_Y) 为巴拿赫空间，均赋予范数诱导的拓扑。记从 XX 到 YY 的所有有界线性算子组成的空间为 L(X,Y)\mathcal L(X,Y)，定义其上的范数

∥F∥=sup⁡u∈X, ∥u∥X=1∥F(u)∥Y(F∈L(X,Y)).\|F\|=\sup_{\substack{u\in X,\ \|u\|_X=1}}\|F(u)\|_Y\qquad(F\in\mathcal L(X,Y)).

固定满足以下两个条件的序列 {Fn}n=1∞⊂L(X,Y)\{F_n\}_{n=1}^\infty\subset\mathcal L(X,Y)：

  • 对每个 u∈Xu\in X，序列 {Fn(u)}n=1∞\{F_n(u)\}_{n=1}^\infty 在 YY 中收敛。
  • sup⁡n≥1∥Fn∥<∞\displaystyle\sup_{n\ge1}\|F_n\|<\infty。

对每个 u∈Xu\in X，以 F(u)=lim⁡n→∞Fn(u)F(u)=\lim_{n\to\infty}F_n(u) 定义算子 F:X→YF:X\to Y。回答下列问题。

(1) 证明 F∈L(X,Y)F\in\mathcal L(X,Y)，且

∥F∥≤lim inf⁡n→∞∥Fn∥<∞.\|F\|\le\liminf_{n\to\infty}\|F_n\|<\infty.

(2) 对 (X,∥⋅∥X)(X,\|\cdot\|_X) 的紧子集 KK，证明

lim⁡n→∞sup⁡u∈K∥Fn(u)−F(u)∥Y=0.\lim_{n\to\infty}\sup_{u\in K}\|F_n(u)-F(u)\|_Y=0.

(3) 令 X=Y=L1(R)X=Y=L^1(\mathbb R)，并定义

Fn(u)(x)=u(x+1n)(u∈X, x∈R).F_n(u)(x)=u\left(x+\frac1n\right)\qquad(u\in X,\ x\in\mathbb R).

判断 lim sup⁡n→∞∥Fn−F∥=0\limsup_{n\to\infty}\|F_n-F\|=0 是否成立，并说明理由。

Kai​

(1)​

各点での極限をとれば F(αu+βv)=αF(u)+βF(v)F(\alpha u+\beta v)=\alpha F(u)+\beta F(v) となるので FF は線形である。M=sup⁡n∥Fn∥<∞M=\sup_n\|F_n\|<\infty とおくと、各 u∈Xu\in X について

∥Fu∥Y=lim⁡n∥Fnu∥Y≤(lim inf⁡n∥Fn∥)∥u∥X.\|Fu\|_Y=\lim_n\|F_nu\|_Y \le\bigl(\liminf_n\|F_n\|\bigr)\|u\|_X.

従って F∈L(X,Y)F\in\mathcal L(X,Y) であり、∥F∥≤lim inf⁡n∥Fn∥≤M<∞\|F\|\le\liminf_n\|F_n\|\le M<\infty である。

(2)​

ε>0\varepsilon>0 をとり、δ=ε/(3(M+1))\delta=\varepsilon/(3(M+1)) とおく。コンパクト性により KK の有限 δ\delta 網 u1,…,umu_1,\ldots,u_m をとれる。各点収束から、十分大きい nn では全ての jj に対し ∥Fnuj−Fuj∥Y<ε/3\|F_nu_j-Fu_j\|_Y<\varepsilon/3 である。u∈Ku\in K に対して ∥u−uj∥X<δ\|u-u_j\|_X<\delta となる jj を選べば

∥Fnu−Fu∥Y≤∥Fn∥ ∥u−uj∥X+∥Fnuj−Fuj∥Y+∥F∥ ∥u−uj∥X<2Mδ+ε/3<ε.\begin{aligned} \|F_nu-Fu\|_Y &\le\|F_n\|\,\|u-u_j\|_X +\|F_nu_j-Fu_j\|_Y+\|F\|\,\|u-u_j\|_X\\ &<2M\delta+\varepsilon/3<\varepsilon. \end{aligned}

よって KK 上で一様収束する。

(3)​

平行移動は L1L^1 ノルムを保存するので ∥Fn∥=1\|F_n\|=1 である。Cc(R)C_c(\mathbb R) の関数に対しては一様連続性から ∥Fnu−u∥1→0\|F_nu-u\|_1\to0 となる。Cc(R)C_c(\mathbb R) が L1(R)L^1(\mathbb R) に稠密であり、∥Fn∥=1\|F_n\|=1 なので、任意の u∈L1u\in L^1 についても同じ極限が成立する。従って強極限は恒等作用素 II である。

一方、un=nχ[0,1/n]u_n=n\chi_{[0,1/n]} とおくと ∥un∥1=1\|u_n\|_1=1 であり、unu_n と FnunF_nu_n の台は零集合を除いて交わらない。従って

∥(Fn−I)un∥1=∥Fnun∥1+∥un∥1=2.\|(F_n-I)u_n\|_1=\|F_nu_n\|_1+\|u_n\|_1=2.

また ∥Fn−I∥≤∥Fn∥+∥I∥=2\|F_n-I\|\le\|F_n\|+\|I\|=2 なので、全ての nn で ∥Fn−I∥=2\|F_n-I\|=2 となる。よって作用素ノルムでは II に収束しない。

Reference​

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