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東北大学 理学研究科 数学専攻 2019年8月実施 選択問題 [4]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 88 題ある。33 題を選択して解答すること。

写像 f:R4→R2f:\mathbb R^4\to\mathbb R^2 と g:R4→Rg:\mathbb R^4\to\mathbb R を

f(x1,x2,y1,y2)=(x1y2−x2y1, x12+x22−y12−y22),g(x1,x2,y1,y2)=x1y1+x2y2\begin{aligned} f(x_1,x_2,y_1,y_2)&=(x_1y_2-x_2y_1,\ x_1^2+x_2^2-y_1^2-y_2^2),\\ g(x_1,x_2,y_1,y_2)&=x_1y_1+x_2y_2 \end{aligned}

と定める。また、M=f−1({(1,0)})M=f^{-1}(\{(1,0)\}) とおく。以下の問いに答えよ。

(1) 点 p=(x1,x2,y1,y2)∈R4p=(x_1,x_2,y_1,y_2)\in\mathbb R^4 での ff のヤコビ行列 (Jf)p(Jf)_p を求めよ。

(2) p∈R4p\in\mathbb R^4 が g(p)≠0g(p)\ne0 を満たすとき (Jf)p(Jf)_p の階数を求めよ。

(3) MM が R4\mathbb R^4 の C∞C^\infty 級部分多様体であることを示し、その次元を求めよ。

题目描述​

本卷共 88 道题，请选择其中 33 道作答。

定义映射 f:R4→R2f:\mathbb R^4\to\mathbb R^2 与 g:R4→Rg:\mathbb R^4\to\mathbb R 为

f(x1,x2,y1,y2)=(x1y2−x2y1, x12+x22−y12−y22),g(x1,x2,y1,y2)=x1y1+x2y2.\begin{aligned} f(x_1,x_2,y_1,y_2)&=(x_1y_2-x_2y_1,\ x_1^2+x_2^2-y_1^2-y_2^2),\\ g(x_1,x_2,y_1,y_2)&=x_1y_1+x_2y_2. \end{aligned}

令 M=f−1({(1,0)})M=f^{-1}(\{(1,0)\})。回答下列问题。

(1) 求 ff 在点 p=(x1,x2,y1,y2)∈R4p=(x_1,x_2,y_1,y_2)\in\mathbb R^4 处的雅可比矩阵 (Jf)p(Jf)_p。

(2) 当 p∈R4p\in\mathbb R^4 满足 g(p)≠0g(p)\ne0 时，求 (Jf)p(Jf)_p 的秩。

(3) 证明 MM 是 R4\mathbb R^4 的 C∞C^\infty 子流形，并求其维数。

Kai​

(1)​

各成分を偏微分して

(Jf)p=(y2−y1−x2x12x12x2−2y1−2y2).\boxed{ (Jf)_p= \begin{pmatrix} y_2&-y_1&-x_2&x_1\\ 2x_1&2x_2&-2y_1&-2y_2 \end{pmatrix}.}

(2)​

最初の二列からなる小行列式は

det⁡(y2−y12x12x2)=2(x1y1+x2y2)=2g(p)≠0.\det\begin{pmatrix}y_2&-y_1\\2x_1&2x_2\end{pmatrix} =2(x_1y_1+x_2y_2)=2g(p)\ne0.

従って階数は 22 以上であり、行が二つしかないことから

rank⁡(Jf)p=2.\boxed{\operatorname{rank}(Jf)_p=2.}

(3)​

(Jf)p(Jf)_p の行ベクトルを

u=(y2,−y1,−x2,x1),v=(2x1,2x2,−2y1,−2y2)u=(y_2,-y_1,-x_2,x_1),\qquad v=(2x_1,2x_2,-2y_1,-2y_2)

とする。直接計算すると

⟨u,v⟩=0,∥u∥2=∥p∥2,∥v∥2=4∥p∥2.\langle u,v\rangle=0,\qquad \|u\|^2=\|p\|^2,\qquad \|v\|^2=4\|p\|^2.

したがって p≠0p\ne0 なら二つの行は非零かつ直交し、階数は 22 である。f(0)=(0,0)f(0)=(0,0) なので p∈Mp\in M では必ず p≠0p\ne0。ゆえに (1,0)(1,0) は ff の正則値であり、正則値定理により MM は R4\mathbb R^4 の C∞C^\infty 級部分多様体である。

実際 f(1,0,0,1)=(1,0)f(1,0,0,1)=(1,0) なので MM は空でなく、その次元は

dim⁡M=4−2=2.\boxed{\dim M=4-2=2.}

Reference​

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