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東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 2019年8月実施 共通問題 問題4

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は4題ある．全問に解答すること．

以下では自然数からなる狭義単調増加数列 {m(k)}k=1∞\{m(k)\}_{k=1}^\infty を部分自然数列と呼ぶ．以下の問いに答えよ．

(1) 実数からなる数列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^\infty と実数 aa に対し，次の二条件は同値であることを示せ．

(i) lim⁡n→∞an=a\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a．

(ii) 任意の部分自然数列 {n(i)}i=1∞\{n(i)\}_{i=1}^\infty に対し，部分自然数列 {i(j)}j=1∞\{i(j)\}_{j=1}^\infty で

lim⁡j→∞an(i(j))=a\lim_{j\to\infty}a_{n(i(j))}=a

を満たすものが存在する．

(2) 関数 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} が次の二条件を満たすと仮定する．

(i) ff は単射．

(ii) R\mathbb{R} の任意のコンパクト部分集合 KK に対し，KK の ff による像 f(K)f(K) はコンパクト．

このとき ff は連続であることを示せ．

题目描述​

本卷共有4题，全部作答。

以下将由自然数组成的严格递增数列 {m(k)}k=1∞\{m(k)\}_{k=1}^\infty 称为“自然数的子序列”。回答下列问题。

(1) 对实数列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^\infty 及实数 aa，证明下列两条件等价。

(i) lim⁡n→∞an=a\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a。

(ii) 对任意自然数的子序列 {n(i)}i=1∞\{n(i)\}_{i=1}^\infty，存在自然数的子序列 {i(j)}j=1∞\{i(j)\}_{j=1}^\infty，使

lim⁡j→∞an(i(j))=a.\lim_{j\to\infty}a_{n(i(j))}=a.

(2) 设函数 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} 满足以下两条件。

(i) ff 是单射。

(ii) 对 R\mathbb{R} 的任意紧子集 KK，像集 f(K)f(K) 也是紧集。

证明 ff 连续。

Kai​

(1)​

(i) が成り立てば，任意の部分列も aa に収束するので，i(j)=ji(j)=j として (ii) を得る．

逆に (i) が成り立たないとする．ある ε>0\varepsilon>0 に対して ∣an−a∣≥ε|a_n-a|\ge\varepsilon となる nn が無限に存在するため，それらを狭義単調増加に並べて部分列 {an(i)}\{a_{n(i)}\} を作れる．そのどの部分列も aa に収束しないので (ii) に矛盾する．

(2)​

任意の a∈Ra\in\mathbb{R} と aa に収束する数列 {xn}\{x_n\} をとる．各 N≥1N\ge1 に対し

KN={a}∪{xn:n≥N}K_N=\{a\}\cup\{x_n:n\ge N\}

はコンパクトである．したがって f(KN)f(K_N) もコンパクト，特に閉集合である．

{f(xn)}\{f(x_n)\} の任意の部分列をとると，これはコンパクト集合 f(K1)f(K_1) 内にあるので，さらに収束部分列 {f(xn(i(j)))}\{f(x_{n(i(j))})\} を持つ．その極限を bb とする．任意の NN に対し，この部分列は最終的に f(KN)f(K_N) 内にあるので，閉性から b∈f(KN)b\in f(K_N) である．

b∈f(K1)b\in f(K_1) より，ある c∈K1c\in K_1 が存在して f(c)=bf(c)=b．また b∈f(KN)b\in f(K_N) と ff の単射性から，同じ cc がすべての KNK_N に属する．xn→ax_n\to a なので

⋂N=1∞KN={a}.\bigcap_{N=1}^\infty K_N=\{a\}.

よって c=ac=a，すなわち b=f(a)b=f(a) である．(1) により f(xn)→f(a)f(x_n)\to f(a)．aa と {xn}\{x_n\} は任意だから，点列による連続性の判定から ff は連続である．

Reference​

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