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東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 2019年8月実施 共通問題 問題3

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は4題ある．全問に解答すること．

α\alpha を 12\frac12 以上の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1) 任意の θ∈[π2,π]\theta\in[\frac\pi2,\pi] に対し，次が成り立つことを示せ．

cos⁡θ≤−1+12(θ−π)2.\cos\theta\le-1+\frac12(\theta-\pi)^2.

(2) 次の広義積分の収束・発散を調べよ．

∫0πdθ(1+cos⁡θ)α.\int_0^\pi\frac{d\theta}{(1+\cos\theta)^\alpha}.

以下，これが収束する場合はその値を IαI_\alpha とし，発散する場合は Iα=∞I_\alpha=\infty とおく．

(3) 区間 [0,π)[0,\pi) 上で定義された関数

Φα(x)=∫0xdθ(1+cos⁡θ)α(0≤x<π)\Phi_\alpha(x)=\int_0^x\frac{d\theta}{(1+\cos\theta)^\alpha}\qquad(0\le x<\pi)

は，逆関数 Xα:[0,Iα)→[0,π)X_\alpha:[0,I_\alpha)\to[0,\pi) を持つことを示せ．また Xα(t)X_\alpha(t) は (0,Iα)(0,I_\alpha) 上 C2C^2 級で，次を満たすことを示せ．

d2dt2Xα(t)=−α(1+cos⁡Xα(t))2α−1sin⁡Xα(t)(0<t<Iα).\frac{d^2}{dt^2}X_\alpha(t)=-\alpha(1+\cos X_\alpha(t))^{2\alpha-1}\sin X_\alpha(t)\qquad(0<t<I_\alpha).

题目描述​

本卷共有4题，全部作答。

设 α≥12\alpha\ge\frac12 为实数。回答下列问题。

(1) 证明对任意 θ∈[π2,π]\theta\in[\frac\pi2,\pi]，有

cos⁡θ≤−1+12(θ−π)2.\cos\theta\le-1+\frac12(\theta-\pi)^2.

(2) 判断下列广义积分收敛还是发散：

∫0πdθ(1+cos⁡θ)α.\int_0^\pi\frac{d\theta}{(1+\cos\theta)^\alpha}.

以下，若积分收敛，将其值记为 IαI_\alpha；若发散，令 Iα=∞I_\alpha=\infty。

(3) 证明定义在 [0,π)[0,\pi) 上的函数

Φα(x)=∫0xdθ(1+cos⁡θ)α(0≤x<π)\Phi_\alpha(x)=\int_0^x\frac{d\theta}{(1+\cos\theta)^\alpha}\qquad(0\le x<\pi)

存在逆函数 Xα:[0,Iα)→[0,π)X_\alpha:[0,I_\alpha)\to[0,\pi)。并证明 XαX_\alpha 在 (0,Iα)(0,I_\alpha) 上是 C2C^2 函数，且满足

Xα′′(t)=−α(1+cos⁡Xα(t))2α−1sin⁡Xα(t)(0<t<Iα).X_\alpha''(t)=-\alpha(1+\cos X_\alpha(t))^{2\alpha-1}\sin X_\alpha(t)\qquad(0<t<I_\alpha).

Kai​

(1)​

u=π−θ∈[0,π/2]u=\pi-\theta\in[0,\pi/2] とおく．0≤sin⁡v≤v0\le\sin v\le v より

1+cos⁡θ=1−cos⁡u=∫0usin⁡v dv≤u22,1+\cos\theta=1-\cos u=\int_0^u\sin v\,dv\le\frac{u^2}{2},

したがって求める不等式が成り立つ．

(2)​

(1) より，π/2≤θ<π\pi/2\le\theta<\pi では

1(1+cos⁡θ)α≥2α(π−θ)2α.\frac1{(1+\cos\theta)^\alpha}\ge\frac{2^\alpha}{(\pi-\theta)^{2\alpha}}.

u=π−θ>0u=\pi-\theta>0 と置換すると，比較する積分は

2α∫0π/2u−2α du=∞2^\alpha\int_0^{\pi/2}u^{-2\alpha}\,du=\infty

である．実際，2α=12\alpha=1 では対数的に，2α>12\alpha>1 ではべき的に発散する．よって与えられた積分は +∞+\infty に発散し，Iα=∞I_\alpha=\infty である．

(3)​

0≤x<π0\le x<\pi で被積分関数は連続かつ正なので，Φα\Phi_\alpha は連続で狭義単調増加し，Φα(0)=0\Phi_\alpha(0)=0 である．(2) より Φα(x)→∞\Phi_\alpha(x)\to\infty（x→π−0x\to\pi-0）だから，Φα\Phi_\alpha は [0,π)[0,\pi) から [0,Iα)=[0,∞)[0,I_\alpha)=[0,\infty) への全単射であり，逆関数 XαX_\alpha を持つ．

(0,π)(0,\pi) では Φα\Phi_\alpha は C∞C^\infty 級で

Φα′(x)=(1+cos⁡x)−α>0.\Phi_\alpha'(x)=(1+\cos x)^{-\alpha}>0.

逆関数定理により XαX_\alpha は (0,Iα)(0,I_\alpha) で C∞C^\infty 級，特に C2C^2 級である．Φα(Xα(t))=t\Phi_\alpha(X_\alpha(t))=t を微分して

Xα′(t)=(1+cos⁡Xα(t))α.X_\alpha'(t)=(1+\cos X_\alpha(t))^\alpha.

さらに微分すれば

Xα′′(t)=−α(1+cos⁡Xα(t))α−1sin⁡Xα(t)Xα′(t)=−α(1+cos⁡Xα(t))2α−1sin⁡Xα(t).\begin{aligned} X_\alpha''(t) &=-\alpha(1+\cos X_\alpha(t))^{\alpha-1}\sin X_\alpha(t)X_\alpha'(t)\\ &=-\alpha(1+\cos X_\alpha(t))^{2\alpha-1}\sin X_\alpha(t). \end{aligned}

Reference​

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