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東北大学 理学研究科 数学専攻 2019年8月実施 共通問題 [1]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 44 題ある。全問に解答すること。R\mathbb R は実数全体のなす集合を表す。

nn を自然数とし、VV を X={1,2,…,2n}X=\{1,2,\ldots,2n\} から R\mathbb R への写像全体のなす実ベクトル空間とする。ただし、f,g∈Vf,g\in V と c∈Rc\in\mathbb R に対し、和 f+gf+g とスカラー倍 cfcf は

(f+g)(x)=f(x)+g(x),(cf)(x)=cf(x)(x∈X)(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (cf)(x)=cf(x)\qquad(x\in X)

と定める。また、x∈Xx\in X に対して vx∈Vv_x\in V を

vx(y)={1(y=x)0(y≠x)(y∈X)v_x(y)=\begin{cases}1&(y=x)\\0&(y\ne x)\end{cases}\qquad(y\in X)

と定め、写像 T:V→VT:V\to V を

(T(f))(x)={∑y=n+12nf(y)(x≤n)∑y=1nf(y)(x≥n+1)(x∈X)(T(f))(x)=\begin{cases}\displaystyle\sum_{y=n+1}^{2n}f(y)&(x\le n)\\[4pt]\displaystyle\sum_{y=1}^{n}f(y)&(x\ge n+1)\end{cases}\qquad(x\in X)

と定める。以下の問いに答えよ。

(1) v1,…,v2nv_1,\ldots,v_{2n} は VV の基底であることを示せ。

(2) TT は線形写像であることを示せ。

(3) VV の基底 v1,…,v2nv_1,\ldots,v_{2n} に関する TT の表現行列 AA を求めよ。また、n≥2n\ge2 のとき AA の最小多項式は t3−n2t∈R[t]t^3-n^2t\in\mathbb R[t] であることを示せ。

题目描述​

试卷共 44 道题，全部作答。R\mathbb R 表示实数集。

设 nn 为自然数，VV 为从 X={1,2,…,2n}X=\{1,2,\ldots,2n\} 到 R\mathbb R 的所有映射组成的实向量空间。对 f,g∈Vf,g\in V 和 c∈Rc\in\mathbb R，加法与数乘定义为

(f+g)(x)=f(x)+g(x),(cf)(x)=cf(x)(x∈X).(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (cf)(x)=cf(x)\qquad(x\in X).

对 x∈Xx\in X，定义 vx∈Vv_x\in V 为

vx(y)={1(y=x)0(y≠x)(y∈X).v_x(y)=\begin{cases}1&(y=x)\\0&(y\ne x)\end{cases}\qquad(y\in X).

定义映射 T:V→VT:V\to V 为

(T(f))(x)={∑y=n+12nf(y)(x≤n)∑y=1nf(y)(x≥n+1)(x∈X).(T(f))(x)=\begin{cases}\displaystyle\sum_{y=n+1}^{2n}f(y)&(x\le n)\\[4pt]\displaystyle\sum_{y=1}^{n}f(y)&(x\ge n+1)\end{cases}\qquad(x\in X).

回答下列问题。

(1) 证明 v1,…,v2nv_1,\ldots,v_{2n} 是 VV 的一组基。

(2) 证明 TT 是线性映射。

(3) 求 TT 关于基 v1,…,v2nv_1,\ldots,v_{2n} 的表示矩阵 AA，并证明当 n≥2n\ge2 时，AA 的最小多项式为 t3−n2t∈R[t]t^3-n^2t\in\mathbb R[t]。

Kai​

(1)​

f∈Vf\in V は各点での値によって定まり、

f=∑j=12nf(j)vjf=\sum_{j=1}^{2n}f(j)v_j

と表せる。また ∑jcjvj=0\sum_jc_jv_j=0 を k∈Xk\in X で評価すると ck=0c_k=0 となる。よって v1,…,v2nv_1,\ldots,v_{2n} は VV の基底である。

(2)​

任意の f,g∈Vf,g\in V と a,b∈Ra,b\in\mathbb R に対し、定義中の和の線形性より、全ての x∈Xx\in X について

T(af+bg)(x)=aT(f)(x)+bT(g)(x).T(af+bg)(x)=aT(f)(x)+bT(g)(x).

したがって TT は線形写像である。

(3)​

j≤nj\le n のとき T(vj)=∑i=n+12nviT(v_j)=\sum_{i=n+1}^{2n}v_i、j>nj>n のとき T(vj)=∑i=1nviT(v_j)=\sum_{i=1}^{n}v_i である。全成分が 11 の nn 次行列を JnJ_n と書けば、求める表現行列は

A=(OJnJnO).A=\begin{pmatrix}O&J_n\\J_n&O\end{pmatrix}.

以下では n≥2n\ge2 とする。Jn2=nJnJ_n^2=nJ_n より A3=n2AA^3=n^2A が成り立つ。一方、1=t(1,…,1)∈Rn\mathbf1={}^t(1,\ldots,1)\in\mathbb R^n に対して

A(11)=n(11),A(1−1)=−n(1−1).A\begin{pmatrix}\mathbf1\\\mathbf1\end{pmatrix} =n\begin{pmatrix}\mathbf1\\\mathbf1\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}\mathbf1\\-\mathbf1\end{pmatrix} =-n\begin{pmatrix}\mathbf1\\-\mathbf1\end{pmatrix}.

また n≥2n\ge2 なので、例えば w=t(1,−1,0,…,0)w={}^t(1,-1,0,\ldots,0) は非零で Jnw=0J_nw=0 を満たし、At(w,0)=0A{}^t(w,0)=0 となる。したがって n,−n,0n,-n,0 は全て固有値であり、最小多項式はこれらを根にもつ。以上から

mA(t)=t(t−n)(t+n)=t3−n2t.m_A(t)=t(t-n)(t+n)=t^3-n^2t.

Reference​

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