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東北大学 理学研究科 数学専攻 2018年8月実施 選択問題 [6]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

HH を実ヒルベルト空間とし、⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle をその内積、∥⋅∥=⟨⋅,⋅⟩\|\cdot\|=\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle} をノルムとする。空でない集合 A⊂HA\subset H に対して

A⊥={x∈H∣任意の a∈A に対して ⟨x,a⟩=0}A^\perp=\{x\in H\mid\text{任意の }a\in A\text{ に対して }\langle x,a\rangle=0\}

とする。以下の問いに答えよ。

(1) A⊂(A⊥)⊥A\subset(A^\perp)^\perp を示せ。

(2) A⊥A^\perp は HH の閉部分空間であることを示せ。

(3) AA が閉部分空間であることと A=(A⊥)⊥A=(A^\perp)^\perp が成り立つことが、同値であることを示せ。

(4) A⊂HA\subset H に対して、A′⊂HA'\subset H を

A′={x∈H | w-lim⁡n→∞an=x となる A の点列 {an}n=1∞ が存在する}A'=\left\{x\in H\ \middle|\ \mathop{\mathrm{w}\text{-}\lim}_{n\to\infty}a_n=x\text{ となる }A\text{ の点列 }\{a_n\}_{n=1}^\infty\text{ が存在する}\right\}

で定義する。このとき A⊥=(A′)⊥A^\perp=(A')^\perp が成り立つことを示せ。ただし、w-lim⁡n→∞an=x\mathop{\mathrm{w}\text{-}\lim}_{n\to\infty}a_n=x とは ana_n が n→∞n\to\infty のときに xx に弱収束することとする。

题目描述​

试卷共8题，选择其中3题作答。

设 HH 为实希尔伯特空间，内积为 ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle，范数为 ∥x∥=⟨x,x⟩\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}。对非空集合 A⊂HA\subset H，定义

A⊥={x∈H∣对所有 a∈A, ⟨x,a⟩=0}.A^\perp=\{x\in H\mid\text{对所有 }a\in A,\ \langle x,a\rangle=0\}.

回答下列问题。

(1) 证明 A⊂(A⊥)⊥A\subset(A^\perp)^\perp。

(2) 证明 A⊥A^\perp 是 HH 的闭线性子空间。

(3) 证明 AA 为闭线性子空间，当且仅当 A=(A⊥)⊥A=(A^\perp)^\perp。

(4) 对 A⊂HA\subset H，定义

A′={x∈H∣存在点列 {an}n=1∞⊂A, an⇀x}.A'=\{x\in H\mid\text{存在点列 }\{a_n\}_{n=1}^\infty\subset A,\ a_n\rightharpoonup x\}.

证明 A⊥=(A′)⊥A^\perp=(A')^\perp。这里 w-lim⁡n→∞an=x\mathop{\mathrm{w}\text{-}\lim}_{n\to\infty}a_n=x（亦记 an⇀xa_n\rightharpoonup x）表示 ana_n 在 n→∞n\to\infty 时弱收敛于 xx。

Kai​

(1)​

u∈Au\in A, v∈A⊥v\in A^\perp ならば ⟨u,v⟩=0\langle u,v\rangle=0 である。従って u∈(A⊥)⊥u\in(A^\perp)^\perp となり、A⊂(A⊥)⊥A\subset(A^\perp)^\perp を得る。

(2)​

任意の a∈Aa\in A に対して x↦⟨x,a⟩x\mapsto\langle x,a\rangle は連続線形汎関数である。従って

A⊥=⋂a∈A{x∈H:⟨x,a⟩=0}A^\perp=\bigcap_{a\in A}\{x\in H:\langle x,a\rangle=0\}

は閉部分空間の共通部分であり、閉部分空間である。

(3)​

AA が閉部分空間なら、直交分解定理により任意の x∈(A⊥)⊥x\in(A^\perp)^\perp を x=p+qx=p+q（p∈Ap\in A, q∈A⊥q\in A^\perp）と書ける。このとき

0=⟨x,q⟩=⟨p,q⟩+∥q∥2=∥q∥20=\langle x,q\rangle=\langle p,q\rangle+\|q\|^2=\|q\|^2

なので q=0q=0、従って x∈Ax\in A となる。(1) と合わせて A=(A⊥)⊥A=(A^\perp)^\perp を得る。

逆にこの等式が成立すれば、(2) を A⊥A^\perp に適用することで右辺が閉部分空間と分かるため、AA も閉部分空間である。

(4)​

定数列を考えれば A⊂A′A\subset A' なので (A′)⊥⊂A⊥(A')^\perp\subset A^\perp である。逆に x∈A⊥x\in A^\perp, a∈A′a\in A' とする。an∈Aa_n\in A で an⇀aa_n\rightharpoonup a となる列をとると

⟨x,a⟩=lim⁡n⟨x,an⟩=0.\langle x,a\rangle=\lim_n\langle x,a_n\rangle=0.

よって x∈(A′)⊥x\in(A')^\perp であり、A⊥=(A′)⊥A^\perp=(A')^\perp となる。

Reference​

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