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東北大学 理学研究科 数学専攻 2018年8月実施 選択問題 [5]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

R\mathbb R 上の関数列 {fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^\infty を

fn(x)=nπ(n2x2+1)(x∈R, n=1,2,…)f_n(x)=\frac{n}{\pi(n^2x^2+1)}\qquad(x\in\mathbb R,\ n=1,2,\ldots)

で定義する。mm は R\mathbb R 上のルベーグ測度として、以下の問いに答えよ。

(1) 各 n=1,2,…n=1,2,\ldots に対して

∫−∞∞fn(x)dm(x)\int_{-\infty}^{\infty}f_n(x)dm(x)

の値を求めよ。ただし、非負の関数に関しては、R\mathbb R 上で広義リーマン積分可能ならばルベーグ積分可能であり、双方の意味での積分の値は一致するという事実は使用してよい。

(2) R\mathbb R 上の有界な実数値ルベーグ可測関数 g(x)g(x) が x=0x=0 で連続であるとする。このとき

lim⁡n→∞∫−∞∞fn(x)g(x)dm(x)=g(0)\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_n(x)g(x)dm(x)=g(0)

を証明せよ。

(3) R\mathbb R 上の有界な実数値ルベーグ可測関数 g(x)g(x) の x=0x=0 での左極限 lim⁡x<0x→0g(x)\lim_{\substack{x<0\\x\to0}}g(x) と右極限 lim⁡x>0x→0g(x)\lim_{\substack{x>0\\x\to0}}g(x) がそれぞれ存在すると仮定する。

a=lim⁡x<0x→0g(x),b=lim⁡x>0x→0g(x)a=\lim_{\substack{x<0\\x\to0}}g(x),\qquad b=\lim_{\substack{x>0\\x\to0}}g(x)

とおくとき、

lim⁡n→∞∫−∞∞fn(x)g(x)dm(x)\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_n(x)g(x)dm(x)

の値を a,ba,b を用いて表せ。

题目描述​

试卷共8题，选择其中3题作答。

在 R\mathbb R 上定义函数列 {fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^\infty：

fn(x)=nπ(n2x2+1)(x∈R, n=1,2,…).f_n(x)=\frac{n}{\pi(n^2x^2+1)}\qquad(x\in\mathbb R,\ n=1,2,\ldots).

设 mm 为 R\mathbb R 上的勒贝格测度，回答下列问题。

(1) 对每个 n=1,2,…n=1,2,\ldots，求

∫−∞∞fn(x)dm(x).\int_{-\infty}^{\infty}f_n(x)dm(x).

可以使用如下事实：非负函数若在 R\mathbb R 上广义黎曼可积，则它勒贝格可积，且两种积分的值相同。

(2) 设 gg 为 R\mathbb R 上的有界实值勒贝格可测函数，且在 x=0x=0 处连续。证明

lim⁡n→∞∫−∞∞fn(x)g(x)dm(x)=g(0).\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_n(x)g(x)dm(x)=g(0).

(3) 设 gg 为 R\mathbb R 上的有界实值勒贝格可测函数，且在 x=0x=0 处的左右极限均存在。令

a=lim⁡x↑0g(x),b=lim⁡x↓0g(x).a=\lim_{x\uparrow0}g(x),\qquad b=\lim_{x\downarrow0}g(x).

用 a,ba,b 表示极限 lim⁡n→∞∫−∞∞fn(x)g(x)dm(x)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_n(x)g(x)dm(x)。

Kai​

(1)​

u=nxu=nx と変数変換すると、

∫Rfn dm=1π∫−∞∞du1+u2=1π[arctan⁡u]−∞∞=1.\int_{\mathbb R}f_n\,dm =\frac1\pi\int_{-\infty}^{\infty}\frac{du}{1+u^2} =\frac1\pi\left[\arctan u\right]_{-\infty}^{\infty}=1.

(2)​

M=sup⁡x∈R∣g(x)∣<∞M=\sup_{x\in\mathbb R}|g(x)|<\infty とする。gg の 00 における連続性から、任意の ε>0\varepsilon>0 に対し ∣x∣<δ|x|<\delta ならば ∣g(x)−g(0)∣<ε|g(x)-g(0)|<\varepsilon となる δ>0\delta>0 が存在する。(1) より、

∣∫Rfng dm−g(0)∣≤ε+2M∫∣x∣≥δfn(x) dx.\left|\int_{\mathbb R}f_ng\,dm-g(0)\right| \le\varepsilon+2M\int_{|x|\ge\delta}f_n(x)\,dx.

ここで

∫∣x∣≥δfn(x) dx=1−2πarctan⁡(nδ)⟶0.\int_{|x|\ge\delta}f_n(x)\,dx =1-\frac2\pi\arctan(n\delta)\longrightarrow0.

よって上極限は ε\varepsilon 以下となり、ε\varepsilon の任意性から極限は g(0)g(0) である。

(3)​

fnf_n は偶関数なので ∫0∞fn dm=∫−∞0fn dm=1/2\int_0^\infty f_n\,dm=\int_{-\infty}^0f_n\,dm=1/2 である。g(0+)=bg(0+)=b と (2) と同じ近傍・尾部の分割から

∫0∞fn(x)(g(x)−b) dx⟶0.\int_0^\infty f_n(x)(g(x)-b)\,dx\longrightarrow0.

同様に g(0−)=ag(0-)=a を用いれば、

∫−∞0fn(x)(g(x)−a) dx⟶0.\int_{-\infty}^0 f_n(x)(g(x)-a)\,dx\longrightarrow0.

両者を加えると、求める極限は (a+b)/2(a+b)/2 となる。

Reference​

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