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東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 2018年8月実施 共通問題 問題3

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は4題ある．全問に解答すること．

R\mathbb{R} 上で定義された実数値関数 Φ\Phi が凸関数であるとき，すなわち任意の x,y∈Rx,y\in\mathbb{R} と t∈(0,1)t\in(0,1) に対して

Φ(tx+(1−t)y)≤tΦ(x)+(1−t)Φ(y)\Phi(tx+(1-t)y)\le t\Phi(x)+(1-t)\Phi(y)

を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1) Φ\Phi は R\mathbb{R} 上連続であることを示せ．

(2) ∑j=1ntj=1\displaystyle\sum_{j=1}^n t_j=1 を満たす tj>0t_j>0 と xj∈Rx_j\in\mathbb{R}（j=1,2,…,nj=1,2,\ldots,n）に対して

Φ(∑j=1ntjxj)≤∑j=1ntjΦ(xj)\Phi\left(\sum_{j=1}^n t_jx_j\right)\le\sum_{j=1}^n t_j\Phi(x_j)

が成り立つことを示せ．

(3) a>0a>0 とする．区間 [0,a][0,a] 上の実数値連続関数 ff に対して

Φ(1a∫0af(x) dx)≤1a∫0aΦ(f(x)) dx\Phi\left(\frac1a\int_0^a f(x)\,dx\right)\le\frac1a\int_0^a\Phi(f(x))\,dx

が成り立つことを示せ．

题目描述​

本卷共有4题，全部作答。

设 Φ\Phi 是定义在 R\mathbb{R} 上的实值凸函数，即对任意 x,y∈Rx,y\in\mathbb{R} 和 t∈(0,1)t\in(0,1)，都有

Φ(tx+(1−t)y)≤tΦ(x)+(1−t)Φ(y).\Phi(tx+(1-t)y)\le t\Phi(x)+(1-t)\Phi(y).

回答下列问题。

(1) 证明 Φ\Phi 在 R\mathbb{R} 上连续。

(2) 对满足 ∑j=1ntj=1\sum_{j=1}^n t_j=1 的正数 tjt_j 及实数 xjx_j（j=1,…,nj=1,\ldots,n），证明

Φ(∑j=1ntjxj)≤∑j=1ntjΦ(xj).\Phi\left(\sum_{j=1}^n t_jx_j\right)\le\sum_{j=1}^n t_j\Phi(x_j).

(3) 设 a>0a>0。对区间 [0,a][0,a] 上的实值连续函数 ff，证明

Φ(1a∫0af(x) dx)≤1a∫0aΦ(f(x)) dx.\Phi\left(\frac1a\int_0^a f(x)\,dx\right)\le\frac1a\int_0^a\Phi(f(x))\,dx.

Kai​

(1)​

u<v<wu<v<w のとき，v=w−vw−uu+v−uw−uwv=\frac{w-v}{w-u}u+\frac{v-u}{w-u}w に凸性を適用して整理すると

Φ(v)−Φ(u)v−u≤Φ(w)−Φ(u)w−u≤Φ(w)−Φ(v)w−v\frac{\Phi(v)-\Phi(u)}{v-u} \le\frac{\Phi(w)-\Phi(u)}{w-u} \le\frac{\Phi(w)-\Phi(v)}{w-v}

を得る．任意の x0∈Rx_0\in\mathbb{R} に対し a<x0<ba<x_0<b を固定する．この不等式から，a<x<ba<x<b，x≠x0x\ne x_0 ならば

Φ(x0)−Φ(a)x0−a≤Φ(x)−Φ(x0)x−x0≤Φ(b)−Φ(x0)b−x0.\frac{\Phi(x_0)-\Phi(a)}{x_0-a} \le\frac{\Phi(x)-\Phi(x_0)}{x-x_0} \le\frac{\Phi(b)-\Phi(x_0)}{b-x_0}.

両端の絶対値の最大を MM とすれば，∣Φ(x)−Φ(x0)∣≤M∣x−x0∣|\Phi(x)-\Phi(x_0)|\le M|x-x_0|．よって Φ\Phi は x0x_0 で連続であり，x0x_0 は任意なので結論を得る．

(2)​

n=1n=1 は等式，n=2n=2 は凸性の定義である．nn 個の場合を仮定し，T=∑j=1ntj=1−tn+1∈(0,1)T=\sum_{j=1}^n t_j=1-t_{n+1}\in(0,1) とおくと，凸性と帰納法の仮定により

Φ(∑j=1n+1tjxj)≤TΦ(∑j=1ntjTxj)+tn+1Φ(xn+1)≤∑j=1n+1tjΦ(xj).\begin{aligned} \Phi\left(\sum_{j=1}^{n+1}t_jx_j\right) &\le T\Phi\left(\sum_{j=1}^n\frac{t_j}{T}x_j\right)+t_{n+1}\Phi(x_{n+1})\\ &\le\sum_{j=1}^{n+1}t_j\Phi(x_j). \end{aligned}

したがって，数学的帰納法によりすべての nn で成立する．

(3)​

xj=ja/nx_j=ja/n とおき，(2) を重み tj=1/nt_j=1/n と値 f(xj)f(x_j) に適用する：

Φ(1n∑j=1nf(xj))≤1n∑j=1nΦ(f(xj)).\Phi\left(\frac1n\sum_{j=1}^n f(x_j)\right) \le\frac1n\sum_{j=1}^n\Phi(f(x_j)).

ff と Φ∘f\Phi\circ f は連続なので，両辺の和はそれぞれ対応する積分のリーマン和である．(1) の Φ\Phi の連続性も用いて n→∞n\to\infty とすれば，求める不等式を得る．

Reference​

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