跳到主要内容

東北大学 理学研究科 数学専攻 2018年8月実施 共通問題 [2]

标签：

Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 44 題ある。全問に解答すること。R\mathbb R は実数全体のなす集合を表す。

R2=R×R\mathbb R^2=\mathbb R\times\mathbb R の点 x=(x0,x1)∈R2x=(x_0,x_1)\in\mathbb R^2 に対し、x02+x12\sqrt{x_0^2+x_1^2} を ∣x∣|x| で表す。関数 d:R2×R2→Rd:\mathbb R^2\times\mathbb R^2\to\mathbb R を

d(x,y)={∣x∣+∣y∣(x,y∈R2, x≠y のとき),0(x,y∈R2, x=y のとき),d(x,y)=\begin{cases}|x|+|y|& (x,y\in\mathbb R^2,\ x\ne y\text{ のとき}),\\0&(x,y\in\mathbb R^2,\ x=y\text{ のとき}),\end{cases}

で定める。以下の問いに答えよ。

(1) (R2,d)(\mathbb R^2,d) は距離空間となることを示せ。

(2) 距離空間 (R2,d)(\mathbb R^2,d) は完備であることを示せ。

(3) 原点 O=(0,0)∈R2O=(0,0)\in\mathbb R^2 を含む部分集合 AA を考える。AA が dd の定める位相について開集合であることと、Br⊂AB_r\subset A となる正の数 rr が存在することが同値であることを示せ。ただし Br={x∈R2∣∣x∣<r}B_r=\{x\in\mathbb R^2\mid |x|<r\} とする。

题目描述​

试卷共 44 道题，全部作答。R\mathbb R 表示实数集。

对于 R2=R×R\mathbb R^2=\mathbb R\times\mathbb R 中的点 x=(x0,x1)x=(x_0,x_1)，以 ∣x∣|x| 表示 x02+x12\sqrt{x_0^2+x_1^2}。定义函数 d:R2×R2→Rd:\mathbb R^2\times\mathbb R^2\to\mathbb R 为

d(x,y)={∣x∣+∣y∣(x,y∈R2, x≠y),0(x,y∈R2, x=y).d(x,y)=\begin{cases}|x|+|y|& (x,y\in\mathbb R^2,\ x\ne y),\\0&(x,y\in\mathbb R^2,\ x=y).\end{cases}

回答下列问题。

(1) 证明 (R2,d)(\mathbb R^2,d) 是度量空间。

(2) 证明度量空间 (R2,d)(\mathbb R^2,d) 是完备的。

(3) 设 AA 是包含原点 O=(0,0)O=(0,0) 的子集。证明：AA 关于 dd 所确定的拓扑为开集，当且仅当存在正数 rr 使 Br⊂AB_r\subset A，其中 Br={x∈R2∣∣x∣<r}B_r=\{x\in\mathbb R^2\mid |x|<r\}。

Kai​

(1)​

非負性と対称性は定義から明らかである。x≠yx\ne y なら x,yx,y の少なくとも一方は非零なので d(x,y)=∣x∣+∣y∣>0d(x,y)=|x|+|y|>0 となり、d(x,y)=0  ⟺  x=yd(x,y)=0\iff x=y も成り立つ。

三角不等式について、x=zx=z なら左辺は 00、y=xy=x または y=zy=z なら等号が成立する。残りの場合は x,y,zx,y,z が互いに異なり、

d(x,z)=∣x∣+∣z∣≤∣x∣+2∣y∣+∣z∣=d(x,y)+d(y,z).d(x,z)=|x|+|z|\le |x|+2|y|+|z|=d(x,y)+d(y,z).

よって dd は距離である。

(2)​

dd に関するコーシー列 (xn)(x_n) を取る。最終的に定値なら明らかに収束するので、そうでない場合を考える。

任意の ε>0\varepsilon>0 に対し、m,n≥Nm,n\ge N なら d(xn,xm)<εd(x_n,x_m)<\varepsilon となる NN を取る。各 n≥Nn\ge N に対し、列が最終的に定値でないことから m≥Nm\ge N で xm≠xnx_m\ne x_n となるものが存在する。従って

∣xn∣≤∣xn∣+∣xm∣=d(xn,xm)<ε.|x_n|\le |x_n|+|x_m|=d(x_n,x_m)<\varepsilon.

d(xn,0)=∣xn∣d(x_n,0)=|x_n| なので xn→0x_n\to0 である。いずれの場合も空間内で収束し、(R2,d)(\mathbb R^2,d) は完備である。

(3)​

AA が開集合で 0∈A0\in A なら、ある r>0r>0 について Bd(0,r)⊂AB_d(0,r)\subset A である。d(0,x)=∣x∣d(0,x)=|x| より Bd(0,r)=BrB_d(0,r)=B_r であるから必要条件が得られる。

逆に Br⊂AB_r\subset A とする。原点では Bd(0,r)⊂AB_d(0,r)\subset A である。また p∈A∖{0}p\in A\setminus\{0\} に対し、x≠px\ne p なら d(p,x)=∣p∣+∣x∣≥∣p∣d(p,x)=|p|+|x|\ge |p| なので

Bd(p,∣p∣)={p}⊂A.B_d(p,|p|)=\{p\}\subset A.

従って AA の全ての点は AA に含まれる開球をもち、AA は開集合である。

Reference​

本页目录