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東北大学 理学研究科 数学専攻 2018年8月実施 共通問題 [1]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 44 題ある。全問に解答すること。R\mathbb R は実数全体のなす集合を表す。

33 次実正方行列

A=(0−11−10−11−10)A=\begin{pmatrix}0&-1&1\\-1&0&-1\\1&-1&0\end{pmatrix}

について、以下の問いに答えよ。

(1) 行列 AA の固有値をすべて求めよ。また、固有値それぞれに対応する固有空間の基底を 11 組求めよ。

(2) 極限

lim⁡n→∞12nAn(501)\lim_{n\to\infty}\frac1{2^n}A^n\begin{pmatrix}5\\0\\1\end{pmatrix}

を求めよ。

题目描述​

试卷共 44 道题，全部作答。R\mathbb R 表示实数集。

对于三阶实方阵

A=(0−11−10−11−10),A=\begin{pmatrix}0&-1&1\\-1&0&-1\\1&-1&0\end{pmatrix},

回答下列问题。

(1) 求矩阵 AA 的全部特征值，并对每个特征值，求对应特征空间的一组基。

(2) 求极限

lim⁡n→∞12nAn(501).\lim_{n\to\infty}\frac1{2^n}A^n\begin{pmatrix}5\\0\\1\end{pmatrix}.

Kai​

(1)​

det⁡(tI−A)=t3−3t−2=(t+1)2(t−2).\det(tI-A)=t^3-3t-2=(t+1)^2(t-2).

固有値 −1-1 については (A+I)x=0(A+I)x=0 が x1−x2+x3=0x_1-x_2+x_3=0 と同値なので、

E−1=span⁡R{(10−1),(011)}.E_{-1}=\operatorname{span}_{\mathbb R} \left\{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right\}.

固有値 22 については

E2=span⁡R{(1−11)}.E_2=\operatorname{span}_{\mathbb R} \left\{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\right\}.

(2)​

初期ベクトルを固有空間に分解すると

(501)=(32−1)+2(1−11),(32−1)∈E−1.\begin{pmatrix}5\\0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix} +2\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}\in E_{-1}.

したがって

12nAn(501)=(−12)n(32−1)+2(1−11)⟶(2−22).\frac{1}{2^n}A^n\begin{pmatrix}5\\0\\1\end{pmatrix} =\left(-\frac12\right)^n\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix} +2\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix} \longrightarrow\begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}.

Reference​

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