東北大学 理学研究科 数学専攻 2017年8月実施 選択問題 [5]

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• 勒贝格控制收敛与单调收敛

Author

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

$(X,\mathcal M,\mu)$ を測度空間とし、$\mu$ は有限測度とする（すなわち、$\mu(X)<\infty$）。また、$f$ を $(X,\mathcal M)$ 上の実数値可測関数とする。以下の問いに答えよ。

(1) $\displaystyle\int_Xe^{|f|}d\mu<\infty$ とする。

(a) $0$ 以上の各整数 $n$ で $\displaystyle\int_X|f|^n d\mu<\infty$ が成り立つことを示せ。

(b) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_X\left(1+\frac fn\right)^n d\mu=\int_Xe^f d\mu$ を示せ。

(2) $2$ 以上の各整数 $n$ で $\displaystyle\int_X|f|^n d\mu\le(n-2)!$ が成り立つとする。

(a) $\displaystyle\int_X|f|d\mu<\infty$ を示せ。

(b) $\displaystyle\int_Xe^{|f|}d\mu<\infty$ を示せ。

题目描述

试卷共8题，选择其中3题作答。

设 $(X,\mathcal M,\mu)$ 为测度空间，$\mu$ 为有限测度，即 $\mu(X)<\infty$，$f$ 为 $(X,\mathcal M)$ 上的实值可测函数。回答下列问题。

(1) 假设 $\displaystyle\int_Xe^{|f|}d\mu<\infty$。

(a) 证明对每个非负整数 $n$，都有 $\displaystyle\int_X|f|^n d\mu<\infty$。

(b) 证明 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_X\left(1+\frac fn\right)^n d\mu=\int_Xe^f d\mu$。

(2) 假设对每个整数 $n\ge2$，都有 $\displaystyle\int_X|f|^n d\mu\le(n-2)!$。

(a) 证明 $\displaystyle\int_X|f|d\mu<\infty$。

(b) 证明 $\displaystyle\int_Xe^{|f|}d\mu<\infty$。

Kai

(1)(a)

$n=0$ のときは $\int_X1\,d\mu=\mu(X)<\infty$ である。任意の正整数 $n$ に対して $|f|^n/n!\le e^{|f|}$ なので、

$$\int_X|f|^n\,d\mu\le n!\int_Xe^{|f|}\,d\mu<\infty.$$

(1)(b)

各点で $(1+f/n)^n\to e^f$ であり、

$$\left|1+\frac fn\right|^n \le\left(1+\frac{|f|}{n}\right)^n\le e^{|f|}.$$

仮定により右辺は可積分だから、優収束定理によって

$$\lim_{n\to\infty}\int_X\left(1+\frac fn\right)^n\,d\mu =\int_Xe^f\,d\mu.$$

(2)(a)

$|f|\le1+|f|^2$ と $n=2$ の仮定より、

$$\int_X|f|\,d\mu\le\mu(X)+\int_X|f|^2\,d\mu \le\mu(X)+1<\infty.$$

(2)(b)

指数級数の非負部分和に単調収束定理を適用すると、

$$\begin{aligned} \int_Xe^{|f|}\,d\mu &=\mu(X)+\int_X|f|\,d\mu +\sum_{n=2}^\infty\frac1{n!}\int_X|f|^n\,d\mu\\ &\le\mu(X)+\int_X|f|\,d\mu +\sum_{n=2}^\infty\frac1{n(n-1)}\\ &=\mu(X)+\int_X|f|\,d\mu+1<\infty. \end{aligned}$$

Reference

• 東北大学 2018年度・選択問題の公開保存資料（PDF 4ページ）
• L^2：2018年度・ルベーグ積分の答案