跳到主要内容

東北大学 理学研究科 数学専攻 2017年8月実施 選択問題 [4]

标签：

Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 88 題ある。33 題を選択して解答すること。

写像 f:R3→R4f:\mathbb R^3\to\mathbb R^4 を

f(x,y,z)=(x,y3,z3,yz−z2)f(x,y,z)=\left(x,y^3,z^3,yz-\frac z2\right)

で定める。以下の問いに答えよ。

(1) ff のヤコビ行列を求めよ。

(2) 点 p∈R3p\in\mathbb R^3 における ff の微分 dfp:TpR3→Tf(p)R4df_p:T_p\mathbb R^3\to T_{f(p)}\mathbb R^4 が単射とならない点 pp をすべて求めよ。

(3) 曲面 S={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2=1, x>0}S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+z^2=1,\ x>0\} 上の点 q=(x0,y0,z0)q=(x_0,y_0,z_0) における接ベクトル (u,v,w)(u,v,w) の dfqdf_q による像を求めよ。

(4) 写像 g:S→R4g:S\to\mathbb R^4 を ff の SS への制限で定める。点 q∈Sq\in S における gg の微分 dgq:TqS→Tg(q)R4dg_q:T_qS\to T_{g(q)}\mathbb R^4 が単射とならない点を求めよ。

题目描述​

本卷共 88 道题，请选择其中 33 道作答。

定义映射 f:R3→R4f:\mathbb R^3\to\mathbb R^4 为

f(x,y,z)=(x,y3,z3,yz−z2).f(x,y,z)=\left(x,y^3,z^3,yz-\frac z2\right).

回答下列问题。

(1) 求 ff 的雅可比矩阵。

(2) 求所有使微分 dfp:TpR3→Tf(p)R4df_p:T_p\mathbb R^3\to T_{f(p)}\mathbb R^4 不为单射的点 p∈R3p\in\mathbb R^3。

(3) 对曲面 S={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2=1, x>0}S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+z^2=1,\ x>0\} 上的点 q=(x0,y0,z0)q=(x_0,y_0,z_0)，求切向量 (u,v,w)(u,v,w) 在 dfqdf_q 下的像。

(4) 令 g:S→R4g:S\to\mathbb R^4 为 ff 在 SS 上的限制。求所有使微分 dgq:TqS→Tg(q)R4dg_q:T_qS\to T_{g(q)}\mathbb R^4 不为单射的点 q∈Sq\in S。

Kai​

(1)​

各成分を偏微分すると

Jf(x,y,z)=(10003y20003z20zy−12).Jf(x,y,z)= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&3y^2&0\\ 0&0&3z^2\\ 0&z&y-\frac12 \end{pmatrix}.

(2)​

dfpdf_p が単射でないことは Jf(p)Jf(p) の階数が 33 未満であることと同値である。33 次小行列式は

9y2z2,3y2(y−12),−3z3,0.9y^2z^2,\qquad3y^2\left(y-\frac12\right),\qquad-3z^3,\qquad0.

これらがすべて 00 となる必要十分条件は z=0z=0 かつ y=0y=0 または y=12y=\frac12 である。したがって求める集合は

{(x,0,0)∣x∈R}∪{(x,12,0)∣x∈R}.\boxed{\{(x,0,0)\mid x\in\mathbb R\}\cup \left\{\left(x,\frac12,0\right)\mid x\in\mathbb R\right\}.}

(3)​

TqS={(u,v,w)∣x0u+y0v+z0w=0}T_qS=\{(u,v,w)\mid x_0u+y_0v+z_0w=0\} であり、求める像は

dfq(u,v,w)=(u,3y02v,3z02w,z0v+(y0−12)w).\boxed{df_q(u,v,w)= \left(u,3y_0^2v,3z_0^2w,z_0v+\left(y_0-\frac12\right)w\right).}

(4)​

dgqdg_q は dfqdf_q の TqST_qS への制限なので、単射でないための条件は TqS∩ker⁡dfq≠{0}T_qS\cap\ker df_q\ne\{0\} である。(2) と x0>0x_0>0 から候補は

q1=(1,0,0),q2=(32,12,0)q_1=(1,0,0),\qquad q_2=\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12,0\right)

の二点に限られる。

q1q_1 では ker⁡dfq1={(0,v,0)∣v∈R}\ker df_{q_1}=\{(0,v,0)\mid v\in\mathbb R\} であり、これは Tq1S={u=0}T_{q_1}S=\{u=0\} に含まれる。

q2q_2 では ker⁡dfq2={(0,0,w)∣w∈R}\ker df_{q_2}=\{(0,0,w)\mid w\in\mathbb R\} であり、これも

Tq2S={(u,v,w)∣32u+12v=0}T_{q_2}S=\left\{(u,v,w)\mid\frac{\sqrt3}{2}u+\frac12v=0\right\}

に含まれる。よって求める点はちょうど

(1,0,0),(32,12,0)\boxed{(1,0,0),\quad\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12,0\right)}

である。

Reference​

本页目录