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東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 2017年8月実施 共通問題 問題4

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は4題ある．全問に解答すること．

α\alpha を実数とする．単調増加な実数列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^\infty が

lim⁡n→∞1n∑k=1nak=α\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n a_k=\alpha

を満たすとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1) 任意の正の整数 nn に対して，an≤αa_n\le\alpha であることを示せ．

(2) lim⁡n→∞an=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha を示せ．

(3) lim⁡n→∞1n∑k=1nk(ak+1−ak)=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n k(a_{k+1}-a_k)=0 を示せ．

题目描述​

本卷共有4题，全部作答。

设 α\alpha 是实数，单调递增的实数列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^\infty 满足

lim⁡n→∞1n∑k=1nak=α.\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n a_k=\alpha.

回答下列问题。

(1) 证明对任意正整数 nn，都有 an≤αa_n\le\alpha。

(2) 证明 lim⁡n→∞an=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha。

(3) 证明 lim⁡n→∞1n∑k=1nk(ak+1−ak)=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n k(a_{k+1}-a_k)=0。

Kai​

(1)​

任意の正の整数 mm を固定する．単調性から，n≥mn\ge m に対して

1n∑k=1nak≥1n∑k=1m−1ak+n−m+1nam.\frac1n\sum_{k=1}^n a_k \ge\frac1n\sum_{k=1}^{m-1}a_k+\frac{n-m+1}{n}a_m.

n→∞n\to\infty とすれば α≥am\alpha\ge a_m を得る．mm は任意なので結論が成り立つ．

(2)​

単調性と (1) より，任意の nn について

1n∑k=1nak≤an≤α.\frac1n\sum_{k=1}^n a_k\le a_n\le\alpha.

左辺は仮定により α\alpha に収束するので，はさみうちの原理から an→αa_n\to\alpha．

(3)​

有限和を整理すると

∑k=1nk(ak+1−ak)=nan+1−∑k=1nak.\sum_{k=1}^n k(a_{k+1}-a_k)=na_{n+1}-\sum_{k=1}^n a_k.

したがって，仮定と (2) より

1n∑k=1nk(ak+1−ak)=an+1−1n∑k=1nak⟶α−α=0.\frac1n\sum_{k=1}^n k(a_{k+1}-a_k) =a_{n+1}-\frac1n\sum_{k=1}^n a_k\longrightarrow\alpha-\alpha=0.

Reference​

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