東北大学大学院理学研究科数学専攻 2017年8月実施共通問題問題3

标签：

Author

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

問題は4題ある．全問に解答すること．

以下の問いに答えよ．

(1) 関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ と関数 $g:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ を考える．

(a) $f,g$ は一様連続とする． $f\circ g$ が一様連続であることを示せ．

(b) $g$ が連続で $x\to\infty$ としたとき $g(x)$ が有限の値に収束するとする．また， $f$ は連続とする． $f\circ g$ が一様連続であることを示せ．

(2) 関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ と関数 $g:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ を次のように与える．

f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-e^{-x}}x&(x\ne0),\\1&(x=0),\end{cases} \qquad g(x)=x\left(x+1-\frac1{\sin\dfrac1{1+x}}\right).

このとき， $f\circ g$ が一様連続であることを示せ．

本卷共有4题，全部作答。

回答下列问题。

(1) 考虑函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 和 $g:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ 。

(a) 若 $f,g$ 都一致连续，证明复合函数 $f\circ g$ 一致连续。

(b) 若 $g$ 连续，且当 $x\to\infty$ 时 $g(x)$ 收敛于有限值；同时 $f$ 连续，证明 $f\circ g$ 一致连续。

(2) 定义函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 和 $g:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ 如下：

f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-e^{-x}}x&(x\ne0),\\1&(x=0),\end{cases} \qquad g(x)=x\left(x+1-\frac1{\sin\dfrac1{1+x}}\right).

证明 $f\circ g$ 一致连续。

|x-y|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(g(x))-f(g(y))|<\varepsilon

となるので， $f\circ g$ は一様連続である．

$g(x)\to\ell\in\mathbb{R}$ とおき， $h=f\circ g$ とする． $h$ は $[0,\infty)$ 上連続であり， $f$ の連続性から $h(x)\to f(\ell)$ である．

任意の $x,y\ge0$ で $|x-y|<\delta$ とする． $\min(x,y)\le R$ ならば $x,y\in[0,R+1]$ なので上の評価が使える． $\min(x,y)>R$ ならば

|h(x)-h(y)|\le|h(x)-f(\ell)|+|h(y)-f(\ell)|<\varepsilon.

したがって $h=f\circ g$ は $[0,\infty)$ 上一様連続である．

$\lim_{x\to0}(1-e^{-x})/x=1$ なので， $f$ は $\mathbb{R}$ 上連続である．また $x\ge0$ では $0<1/(1+x)\le1<\pi$ より分母の正弦は正であり， $g$ は $[0,\infty)$ 上連続である．

$t=1/(1+x)$ とおくと， $x\to\infty$ のとき $t\to+0$ ， $x=(1-t)/t$ である．テイラー展開から

\sin t=t-\frac{t^3}{6}+O(t^5),\qquad \frac1{\sin t}=\frac1t+\frac t6+O(t^3).

したがって

g(x)=\frac{1-t}{t}\left(\frac1t-\frac1{\sin t}\right) =-\frac{1-t}{6}+O(t^2)\longrightarrow-\frac16.

(1)(b) より $f\circ g$ は一様連続である．