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東北大学 理学研究科 数学専攻 2017年8月実施 共通問題 [1]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 44 題ある。全問に解答すること。R\mathbb R、C\mathbb C はそれぞれ実数全体、複素数全体のなす集合を表す。

aa を実数とする。33 次実正方行列

A=(2a−1021−18−1)A=\begin{pmatrix}2&a&-1\\0&2&1\\-1&8&-1\end{pmatrix}

に対して、線形写像 fA:R3→R3f_A:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 を x↦Axx\mapsto Ax により定める。以下の問いに答えよ。

(1) 行列 AA の固有多項式 pA(x)p_A(x) を求めよ。

(2) 行列 AA を複素行列によって対角化できないような実数 aa をすべて求めよ。

(3) aa を (2) で求めたものとする。各 aa に対して、R3\mathbb R^3 の 11 次元部分空間 WW で次の 22 つの性質を同時に満たすものを与えよ。

(a) fA(W)⊂Wf_A(W)\subset W。

(b) fAf_A が誘導する線形写像 f~A:R3/W→R3/W\widetilde f_A:\mathbb R^3/W\to\mathbb R^3/W の表現行列は対角化可能である。

题目描述​

试卷共 44 道题，全部作答。R\mathbb R、C\mathbb C 分别表示实数集和复数集。

设 aa 为实数。对于三阶实方阵

A=(2a−1021−18−1),A=\begin{pmatrix}2&a&-1\\0&2&1\\-1&8&-1\end{pmatrix},

以 x↦Axx\mapsto Ax 定义线性映射 fA:R3→R3f_A:\mathbb R^3\to\mathbb R^3。回答下列问题。

(1) 求矩阵 AA 的特征多项式 pA(x)p_A(x)。

(2) 求所有使矩阵 AA 不能通过复矩阵对角化的实数 aa。

(3) 对第 (2) 问中求出的每个 aa，给出 R3\mathbb R^3 的一个一维子空间 WW，使以下两个条件同时成立。

(a) fA(W)⊂Wf_A(W)\subset W。

(b) fAf_A 诱导的线性映射 f~A:R3/W→R3/W\widetilde f_A:\mathbb R^3/W\to\mathbb R^3/W 的表示矩阵可以对角化。

Kai​

(1)​

pA(t)=det⁡(tI−A)=det⁡(t−2−a10t−2−11−8t+1)=t3−3t2−9t+a+22.\begin{aligned} p_A(t)=\det(tI-A)&=\det\begin{pmatrix}t-2&-a&1\\0&t-2&-1\\1&-8&t+1\end{pmatrix}\\ &=t^3-3t^2-9t+a+22. \end{aligned}

(2)​

p(t)=t3−3t2−9t+a+22p(t)=t^3-3t^2-9t+a+22 とおく。重根がなければ AA は複素数体上で対角化可能である。重根は

p′(t)=3(t−3)(t+1)p'(t)=3(t-3)(t+1)

の根でもあるので、p(3)=a−5=0p(3)=a-5=0 または p(−1)=a+27=0p(-1)=a+27=0 が必要である。

a=5a=5 のときは p(t)=(t−3)2(t+3)p(t)=(t-3)^2(t+3) であり、

ker⁡(A−3I)=C(411).\ker(A-3I)=\mathbb C\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}.

a=−27a=-27 のときは p(t)=(t+1)2(t−5)p(t)=(t+1)^2(t-5) であり、

ker⁡(A+I)=C(−8−13).\ker(A+I)=\mathbb C\begin{pmatrix}-8\\-1\\3\end{pmatrix}.

どちらも重複度 22 の固有値に対する固有空間の次元が 11 なので、対角化不可能である。従って求める値は a=5,−27a=5,-27 である。

(3)​

重根を λ\lambda、残りの固有値を μ\mu とする。(2) より λ\lambda の固有空間は一次元なので、AA のジョルダン標準形から、実ベクトル空間 R3\mathbb R^3 の基底 v,w,uv,w,u で

Av=λv,Aw=λw+v,Au=μuAv=\lambda v,\qquad Aw=\lambda w+v,\qquad Au=\mu u

を満たすものが存在する。ただし

(λ,μ)={(3,−3)(a=5),(−1,5)(a=−27).(\lambda,\mu)=\begin{cases}(3,-3)&(a=5),\\(-1,5)&(a=-27).\end{cases}

一次元部分空間 WW が AA に関して不変ならば、その非零元は固有ベクトルであるから、W=RvW=\mathbb Rv または W=RuW=\mathbb Ru である。

W=RvW=\mathbb Rv の場合、商空間の基底 [w],[u][w],[u] に関する誘導写像の表現行列は diag⁡(λ,μ)\operatorname{diag}(\lambda,\mu) である。従って対角化可能である。一方、W=RuW=\mathbb Ru の場合、商空間の基底 [v],[w][v],[w] に関する表現行列は

(λ10λ)\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}

であり、対角化不可能である。従って求める部分空間は

{W=R t(4,1,1)(a=5),W=R t(−8,−1,3)(a=−27).\begin{cases} W=\mathbb R\,{}^t(4,1,1)&(a=5),\\ W=\mathbb R\,{}^t(-8,-1,3)&(a=-27). \end{cases}

Reference​

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