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東北大学 理学研究科 数学専攻 2016年8月実施 選択問題 [5]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は9題ある。3題を選択して解答すること。

μ\mu を Rn\mathbb R^n 上のルベーグ測度とし、可測集合 Ω⊂Rn\Omega\subset\mathbb R^n が μ(Ω)<∞\mu(\Omega)<\infty を満たし、fkf_k（k=1,2,3,…k=1,2,3,\ldots）と ff は Ω\Omega 上の2乗可積分関数であるとする。また、

∫Ω∣fk∣2dμ≤M(k=1,2,3,…)\int_\Omega|f_k|^2d\mu\le M\qquad(k=1,2,3,\ldots)

を満たす定数 M>0M>0 があるとし、μ\mu に関して、ほとんどすべての点 x∈Ωx\in\Omega において、

lim⁡k→∞fk(x)=f(x)\lim_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)

が成り立つとする。r>0r>0 と k=1,2,3,…k=1,2,3,\ldots に対し、

Ak(r)={x∈Ω∣∣fk(x)−f(x)∣≥r}A_k(r)=\{x\in\Omega\mid|f_k(x)-f(x)|\ge r\}

とおく。以下の問いに答えよ。

(1) 次の条件を満たす定数 C>0C>0 が存在することを示せ。

任意の r>0r>0 と k=1,2,3,…k=1,2,3,\ldots に対し、μ(Ak(r))≤C/r2\mu(A_k(r))\le C/r^2 となる。

(2) 任意の r>0r>0 に対し、lim⁡k→∞∫Ω∖Ak(r)∣fk−f∣dμ=0\displaystyle\lim_{k\to\infty}\int_{\Omega\setminus A_k(r)}|f_k-f|d\mu=0 が成り立つことを示せ。

(3) lim⁡k→∞∫Ω∣fk−f∣dμ=0\displaystyle\lim_{k\to\infty}\int_\Omega|f_k-f|d\mu=0 が成り立つことを示せ。

题目描述​

试卷共9题，选择其中3题作答。

设 μ\mu 为 Rn\mathbb R^n 上的勒贝格测度，可测集 Ω⊂Rn\Omega\subset\mathbb R^n 满足 μ(Ω)<∞\mu(\Omega)<\infty，函数 fkf_k（k=1,2,3,…k=1,2,3,\ldots）与 ff 均在 Ω\Omega 上平方可积。存在常数 M>0M>0，使

∫Ω∣fk∣2dμ≤M(k=1,2,3,…).\int_\Omega|f_k|^2d\mu\le M\qquad(k=1,2,3,\ldots).

此外，对 Ω\Omega 中关于 μ\mu 几乎所有的 xx，均有 fk(x)→f(x)f_k(x)\to f(x)。对 r>0r>0 及 k=1,2,3,…k=1,2,3,\ldots，定义

Ak(r)={x∈Ω∣∣fk(x)−f(x)∣≥r}.A_k(r)=\{x\in\Omega\mid|f_k(x)-f(x)|\ge r\}.

回答下列问题。

(1) 证明存在常数 C>0C>0，使任意 r>0r>0 和 k=1,2,3,…k=1,2,3,\ldots 均满足 μ(Ak(r))≤C/r2\mu(A_k(r))\le C/r^2。

(2) 证明对任意 r>0r>0，均有 lim⁡k→∞∫Ω∖Ak(r)∣fk−f∣dμ=0\displaystyle\lim_{k\to\infty}\int_{\Omega\setminus A_k(r)}|f_k-f|d\mu=0。

(3) 证明 lim⁡k→∞∫Ω∣fk−f∣dμ=0\displaystyle\lim_{k\to\infty}\int_\Omega|f_k-f|d\mu=0。

Kai​

(1)​

M=sup⁡k∫Ω∣fk∣2 dμ<∞M=\sup_k\int_\Omega|f_k|^2\,d\mu<\infty とおく。Fatou の補題より ∫Ω∣f∣2 dμ≤M\int_\Omega|f|^2\,d\mu\le M である。従って

∫Ω∣fk−f∣2 dμ≤2∫Ω∣fk∣2 dμ+2∫Ω∣f∣2 dμ≤4M.\int_\Omega|f_k-f|^2\,d\mu \le2\int_\Omega|f_k|^2\,d\mu+2\int_\Omega|f|^2\,d\mu \le4M.

これから

r2μ(Ak(r))≤∫Ak(r)∣fk−f∣2 dμ≤4M.r^2\mu(A_k(r))\le\int_{A_k(r)}|f_k-f|^2\,d\mu\le4M.

例えば C=4M+1>0C=4M+1>0 とすれば求める評価を満たす。

(2)​

hk=∣fk−f∣χΩ∖Ak(r)h_k=|f_k-f|\chi_{\Omega\setminus A_k(r)} とおく。hk→0h_k\to0 がほとんど至る所成立し、0≤hk≤r0\le h_k\le r である。μ(Ω)<∞\mu(\Omega)<\infty により定数関数 rr は可積分なので、優収束定理から

lim⁡k→∞∫Ω∖Ak(r)∣fk−f∣ dμ=lim⁡k→∞∫Ωhk dμ=0.\lim_{k\to\infty}\int_{\Omega\setminus A_k(r)}|f_k-f|\,d\mu =\lim_{k\to\infty}\int_\Omega h_k\,d\mu=0.

(3)​

(1) と Cauchy–Schwarz の不等式より、

∫Ak(r)∣fk−f∣ dμ≤(∫Ω∣fk−f∣2 dμ)1/2μ(Ak(r))1/2≤4Mr.\int_{A_k(r)}|f_k-f|\,d\mu \le\left(\int_\Omega|f_k-f|^2\,d\mu\right)^{1/2} \mu(A_k(r))^{1/2}\le\frac{4M}{r}.

従って (2) を用いると

lim sup⁡k→∞∫Ω∣fk−f∣ dμ≤4Mr.\limsup_{k\to\infty}\int_\Omega|f_k-f|\,d\mu\le\frac{4M}{r}.

最後に r→∞r\to\infty とすれば結論を得る。

Reference​

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