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東北大学 理学研究科 数学専攻 2016年8月実施 選択問題 [3]

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Author​

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 99 題ある。33 題を選択して解答すること。

33 次元ユークリッド空間 R3\mathbb R^3 の以下の 44 点

a0=(0,0,0),a1=(1,0,0),a2=(0,1,0),a3=(0,0,1)a_0=(0,0,0),\quad a_1=(1,0,0),\quad a_2=(0,1,0),\quad a_3=(0,0,1)

をそれぞれ 00-単体とみなす。また、22 点 ai,aja_i,a_j を頂点とする 11-単体を aiaja_ia_j と書き、33 点 ai,aj,aka_i,a_j,a_k を頂点とする 22-単体を aiajaka_ia_ja_k と書く。XX を

a0,a1,a2,a0a1,a0a2,a1a2a_0,a_1,a_2,a_0a_1,a_0a_2,a_1a_2

からなる単体的複体とし、YY を

a0,a1,a2,a3,a0a1,a0a2,a0a3,a1a2,a1a3,a2a3,a0a1a3a_0,a_1,a_2,a_3,a_0a_1,a_0a_2,a_0a_3,a_1a_2,a_1a_3,a_2a_3,a_0a_1a_3

からなる単体的複体とする。以下の問いに答えよ。

(1) 単体的複体 XX の整係数ホモロジー群を求めよ。

(2) 単体的複体 YY の整係数ホモロジー群を求めよ。

(3) XX に属する単体全体の和集合を ∣X∣|X| とし、∣Y∣|Y| も同様に定める。ここで、写像 f:∣Y∣→∣X∣f:|Y|\to|X| を f(x,y,z)=(x,y,0)f(x,y,z)=(x,y,0) で定義する。このとき、ff から誘導される f∗:H1(Y,Z)→H1(X,Z)f_*:H_1(Y,\mathbb Z)\to H_1(X,\mathbb Z) は全射であること、および、単射でないことを示せ。

题目描述​

本卷共 99 道题，请选择其中 33 道作答。

把三维欧氏空间 R3\mathbb R^3 中的四点

a0=(0,0,0),a1=(1,0,0),a2=(0,1,0),a3=(0,0,1)a_0=(0,0,0),\quad a_1=(1,0,0),\quad a_2=(0,1,0),\quad a_3=(0,0,1)

分别视为零维单形。以 ai,aja_i,a_j 为顶点的一维单形记为 aiaja_ia_j，以 ai,aj,aka_i,a_j,a_k 为顶点的二维单形记为 aiajaka_ia_ja_k。令 XX 为由

a0,a1,a2,a0a1,a0a2,a1a2a_0,a_1,a_2,a_0a_1,a_0a_2,a_1a_2

组成的单纯复形，YY 为由

a0,a1,a2,a3,a0a1,a0a2,a0a3,a1a2,a1a3,a2a3,a0a1a3a_0,a_1,a_2,a_3,a_0a_1,a_0a_2,a_0a_3,a_1a_2,a_1a_3,a_2a_3,a_0a_1a_3

组成的单纯复形。回答下列问题。

(1) 求单纯复形 XX 的整系数同调群。

(2) 求单纯复形 YY 的整系数同调群。

(3) 用 ∣X∣|X| 表示 XX 中所有单形的并，以同样方式定义 ∣Y∣|Y|。定义映射 f:∣Y∣→∣X∣f:|Y|\to|X| 为 f(x,y,z)=(x,y,0)f(x,y,z)=(x,y,0)。证明其诱导映射 f∗:H1(Y,Z)→H1(X,Z)f_*:H_1(Y,\mathbb Z)\to H_1(X,\mathbb Z) 是满射，但不是单射。

Kai​

以下、係数はすべて Z\mathbb Z とし、eij=[ai,aj]e_{ij}=[a_i,a_j]（i<ji<j）と書く。

(1)​

∣X∣|X| は三角形の境界なので S1S^1 と同相である。したがって

Hq(X;Z)≅{Zq=0,1,0q≥2.H_q(X;\mathbb Z)\cong \begin{cases} \mathbb Z & q=0,1,\\ 0 & q\ge2. \end{cases}

H1(X;Z)H_1(X;\mathbb Z) の生成元として z012=e01+e12−e02z_{012}=e_{01}+e_{12}-e_{02} を取れる。

(2)​

YY の 11-骨格は完全グラフ K4K_4 である。全域木 e01,e02,e03e_{01},e_{02},e_{03} を選ぶと、そのサイクル群の基底は

z012=e01+e12−e02,z013=e01+e13−e03,z023=e02+e23−e03\begin{aligned} z_{012}&=e_{01}+e_{12}-e_{02},\\ z_{013}&=e_{01}+e_{13}-e_{03},\\ z_{023}&=e_{02}+e_{23}-e_{03} \end{aligned}

である。実際、各サイクルの木に属さない辺の係数はそれぞれ e12,e13,e23e_{12},e_{13},e_{23} の係数を自由に指定し、残る木の辺の係数は境界が 00 という条件から一意に決まる。

唯一の 22-単体 [a0,a1,a3][a_0,a_1,a_3] の境界は z013z_{013} であり、∂2:Z→C1(Y)\partial_2:\mathbb Z\to C_1(Y) は単射である。よって

H1(Y;Z)=Zz012⊕Zz013⊕Zz023Zz013≅Z2,H2(Y;Z)=0.H_1(Y;\mathbb Z) =\frac{\mathbb Z z_{012}\oplus\mathbb Z z_{013}\oplus\mathbb Z z_{023}} {\mathbb Z z_{013}} \cong\mathbb Z^2,\qquad H_2(Y;\mathbb Z)=0.

YY は連結で 22 次元の複体だから、結論は

Hq(Y;Z)≅{Zq=0,Z2q=1,0q≥2.H_q(Y;\mathbb Z)\cong \begin{cases} \mathbb Z & q=0,\\ \mathbb Z^2 & q=1,\\ 0 & q\ge2. \end{cases}

(3)​

ff は a0,a1,a2a_0,a_1,a_2 を固定し、a3a_3 を a0a_0 に写す。この頂点写像は単体写像を定め、その実現が問題の ff である。

z012z_{012} は固定される。一方、退化辺の像を 00 とすれば

f#(z023)=[a0,a2]+[a2,a0]−[a0,a0]=0.f_\#(z_{023})=[a_0,a_2]+[a_2,a_0]-[a_0,a_0]=0.

したがって上記の基底に関する誘導写像は

f∗:Z2⟶Z,(m,n)⟼m.f_*:\mathbb Z^2\longrightarrow\mathbb Z,\qquad (m,n)\longmapsto m.

これは全射であり、非零の元 [z023][z_{023}] を 00 に写すので単射ではない。

Reference​

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