東北大学大学院理学研究科数学専攻 2016年8月実施共通問題問題3

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

問題は4題ある．全問に解答すること．

$p>2$ とする． $D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x,y,z\ge0\}$ 上の関数

F(x,y,z)=\frac{x^p+y^p+z^p}{p}-\frac{x^2+y^2+z^2}{2}

に対し，以下の問いに答えよ．

(1) $D^\circ=\{(x,y,z)\in D\mid x,y,z>0\}$ における $F$ の極値をすべて求めよ．

(2) $S=\{(x,y,z)\in D\mid x^2+y^2+z^2=1\}$ 上で， $F$ の最大値，最小値とそれらを与える点を求めよ．

(3) すべての $(x,y,z)\in D$ に対して次の不等式が成り立つような $m$ の最大の値と $M$ の最小の値を求めよ．

m\sqrt{x^2+y^2+z^2}\le(x^p+y^p+z^p)^{1/p}\le M\sqrt{x^2+y^2+z^2}.

本卷共有4题，全部作答。

设 $p>2$ 。在 $D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x,y,z\ge0\}$ 上定义

F(x,y,z)=\frac{x^p+y^p+z^p}{p}-\frac{x^2+y^2+z^2}{2}.

回答下列问题。

(1) 求 $F$ 在 $D^\circ=\{(x,y,z)\in D\mid x,y,z>0\}$ 上的全部局部极值。

(2) 求 $F$ 在 $S=\{(x,y,z)\in D\mid x^2+y^2+z^2=1\}$ 上的最大值、最小值，以及取得这些值的点。

(3) 求使下列不等式对所有 $(x,y,z)\in D$ 成立的 $m$ 的最大值和 $M$ 的最小值：

m\sqrt{x^2+y^2+z^2}\le(x^p+y^p+z^p)^{1/p}\le M\sqrt{x^2+y^2+z^2}.

F_x=x^{p-1}-x=x(x^{p-2}-1),

$F_y,F_z$ も同様である． $D^\circ$ の各座標は正なので，臨界点は $(1,1,1)$ のみである．この点のヘッセ行列は $(p-2)I_3$ で正定値だから， $(1,1,1)$ で極小値 $3/p-3/2$ をとる．極大値は存在しない．

$a=x^2$ ， $b=y^2$ ， $c=z^2$ ， $q=p/2>1$ とおく． $S$ 上では $a,b,c\ge0$ ， $a+b+c=1$ である．関数 $t\mapsto t^q$ の狭義凸性とイェンセンの不等式から

a^q+b^q+c^q\ge3\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^q=3^{1-q},

等号は $a=b=c=1/3$ のときのみ成立する．また， $0\le a,b,c\le1$ より

a^q+b^q+c^q\le a+b+c=1,

等号は $(a,b,c)$ が $(1,0,0)$ のいずれかの置換であるときのみ成立する．したがって

\min_S F=\frac{3^{1-p/2}}p-\frac12

で，これを与える点は $(1/\sqrt3,1/\sqrt3,1/\sqrt3)$ のみである．また

\max_S F=\frac1p-\frac12

で，これを与える点は $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ である．

$(x,y,z)\ne(0,0,0)$ に対し $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}>0$ とおく． $(x/r,y/r,z/r)\in S$ なので，(2) で得た評価に $1/p$ 乗を施すと

3^{1/p-1/2}\le\frac{(x^p+y^p+z^p)^{1/p}}r\le1.

原点でも元の不等式は成立する．左端は $x=y=z>0$ ，右端は一つの座標のみが正のときに達成されるので，最良定数は

\boxed{\max m=3^{1/p-1/2},\qquad\min M=1}.