東北大学大学院理学研究科数学専攻 2016年8月実施共通問題問題2

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

問題は4題ある．全問に解答すること．

$C^1$ 級関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が，任意の $x\ge0$ に対して，

|f(x)|\le\frac1{1+x^2}

を満たすとする．以下の問いに答えよ．

(1) 任意の $N>0$ に対し， $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\left|f\left(\frac{k}{N}\right)\right|$ は，収束することを示せ．

(2) $\displaystyle\int_0^\infty f(x)\,dx$ は，収束することを示せ．

(3) さらに，任意の $x\ge0$ に対し，

|f'(x)|\le\frac1{1+x^2}

を満たすとする．このとき，

\lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{k=0}^\infty f\left(\frac{k}{N}\right)=\int_0^\infty f(x)\,dx

を示せ．

本卷共有4题，全部作答。

设 $C^1$ 函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 对任意 $x\ge0$ 都满足

|f(x)|\le\frac1{1+x^2}.

回答下列问题。

(1) 证明对任意 $N>0$ ，级数 $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\left|f\left(\frac{k}{N}\right)\right|$ 收敛。

(2) 证明广义积分 $\displaystyle\int_0^\infty f(x)\,dx$ 收敛。

(3) 进一步假设对任意 $x\ge0$ 都有

|f'(x)|\le\frac1{1+x^2}.

证明

\lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{k=0}^\infty f\left(\frac{k}{N}\right)=\int_0^\infty f(x)\,dx.

$N>0$ を固定する． $k\ge1$ のとき

\left|f\left(\frac{k}{N}\right)\right| \le\frac{N^2}{N^2+k^2}\le\frac{N^2}{k^2}.

$\sum_{k=1}^\infty k^{-2}<\infty$ であり， $k=0$ の項 $|f(0)|$ も有限なので，級数は収束する．

比較判定法により

\int_0^\infty|f(x)|\,dx\le\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi2<\infty.

よって広義積分は絶対収束する．

$h=1/N$ とおく． $f\in C^1$ なので， $kh\le x\le(k+1)h$ に対して

|f(x)-f(kh)|\le\int_{kh}^x|f'(t)|\,dt \le\int_{kh}^{(k+1)h}|f'(t)|\,dt.

これを $x$ について積分すると

\left|\int_{kh}^{(k+1)h}f(x)\,dx-hf(kh)\right| \le h\int_{kh}^{(k+1)h}|f'(t)|\,dt.

$k$ について加え，(1)，(2) の絶対収束を用いて上限を無限大にすれば

\left|\int_0^\infty f(x)\,dx-\frac1N\sum_{k=0}^\infty f\left(\frac{k}{N}\right)\right| \le\frac1N\int_0^\infty|f'(t)|\,dt\le\frac\pi{2N}\longrightarrow0.

これが求める等式である．