東北大学理学研究科数学専攻 2016年8月実施共通問題 [1]

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

問題は $4$ 題ある。全問に解答すること。 $\mathbb R$ は実数全体のなす集合を表す。

$M_3(\mathbb R)$ を $3$ 次実正方行列全体のなす実ベクトル空間とする。 $3$ 次実正方行列 $Z$ に対して、 $M_3(\mathbb R)$ の部分空間 $V(Z)$ を

V(Z)=\{X\in M_3(\mathbb R)\mid ZX=XZ\}

と定める。以下の問いに答えよ。

(1) $A=\begin{pmatrix}8&-9&-2\\6&-7&-2\\-6&9&4\end{pmatrix}$ とする。 $A$ の固有値と各固有値に対する固有ベクトルを求めよ。

(2) (1) の $A$ に対して、 $V(A)$ の次元を求めよ。

(3) $B=\begin{pmatrix}-1&-2&1\\4&5&-2\\4&4&-1\end{pmatrix}$ に対して、 $V(B)$ の次元を求めよ。

试卷共 $4$ 道题，全部作答。 $\mathbb R$ 表示实数集。

令 $M_3(\mathbb R)$ 为全体三阶实方阵组成的实向量空间。对于三阶实方阵 $Z$ ，定义 $M_3(\mathbb R)$ 的子空间

V(Z)=\{X\in M_3(\mathbb R)\mid ZX=XZ\}.

回答下列问题。

(1) 令 $A=\begin{pmatrix}8&-9&-2\\6&-7&-2\\-6&9&4\end{pmatrix}$ 。求 $A$ 的特征值及每个特征值对应的特征向量。

(2) 对第 (1) 问中的 $A$ ，求 $V(A)$ 的维数。

(3) 对 $B=\begin{pmatrix}-1&-2&1\\4&5&-2\\4&4&-1\end{pmatrix}$ ，求 $V(B)$ 的维数。

\det(tI-A)=t^3-5t^2+8t-4=(t-1)(t-2)^2.

したがって固有値は $1,2$ である。連立一次方程式を解くと

\begin{aligned} \ker(A-I)&=\mathbb R\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\\ \ker(A-2I)&=\operatorname{span}_{\mathbb R} \left\{\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\2\\-9\end{pmatrix}\right\}. \end{aligned}

例えばそれぞれ $\,{}^t(1,1,-1)$ 、 ${}^t(1,0,3)$ が対応する固有ベクトルである。

(1) の三つの基底ベクトルを列に並べた正則行列を $P$ とすると

P^{-1}AP=D=\operatorname{diag}(1,2,2).

$X\mapsto P^{-1}XP$ は $V(A)$ と $V(D)$ の線形同型である。 $DY=YD$ を成分ごとに比較すれば

V(D)=\left\{\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&c\\0&d&e\end{pmatrix} \ \middle|\ a,b,c,d,e\in\mathbb R\right\}.

よって $\dim V(A)=5$ である。

$N=B-I$ とおくと

N=\begin{pmatrix}-2&-2&1\\4&4&-2\\4&4&-2\end{pmatrix},\qquad N^2=O,\quad \operatorname{rank}N=1.

したがって $B$ のジョルダン標準形は

J=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

相似変換は可換行列の空間の次元を保つ。 $JY=YJ$ を解くと

V(J)=\left\{\begin{pmatrix}a&b&c\\0&a&0\\0&d&e\end{pmatrix} \ \middle|\ a,b,c,d,e\in\mathbb R\right\}.

よって $\dim V(B)=5$ である。