東北大学理学研究科数学専攻 2015年8月実施選択問題 [5]

标签：

Author

祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

問題は8題ある。3題を選択して解答すること。

$\mu$ を $\mathbb R$ 上のルベーグ測度とし、 $a>2$ を実数とする。以下の問いに答えよ。

(1) $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ を $\mathbb R$ 上の可測集合列とし $\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)<\infty$ をみたすとする。

\limsup_{n\to\infty}A_n:=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k

に対して $\mu(\limsup_{n\to\infty}A_n)=0$ を示せ。

(2) 正の整数 $n$ に対して $B_n$ を

B_n:=\left\{x\in(0,1)\ \middle|\ \begin{array}{l} n\text{ と互いに素であるような正の整数 }k\text{ が存在して}\\ \displaystyle\left|x-\frac kn\right|<\frac1{n^a}\text{ をみたす} \end{array}\right\}

と定める。 $\mu(B_3),\mu(B_4)$ を求めよ。

(3) $\mu(\limsup_{n\to\infty}B_n)=0$ を示せ。

试卷共8题，选择其中3题作答。

设 $\mu$ 为 $\mathbb R$ 上的勒贝格测度，实数 $a>2$ 。回答下列问题。

(1) 设 $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ 为 $\mathbb R$ 上的可测集列，且 $\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)<\infty$ 。定义

\limsup_{n\to\infty}A_n:=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k.

证明 $\mu(\limsup_{n\to\infty}A_n)=0$ 。

(2) 对正整数 $n$ ，定义

B_n:=\left\{x\in(0,1)\ \middle|\ \begin{array}{l} \text{存在与 }n\text{ 互素的正整数 }k,\\ \displaystyle\left|x-\frac kn\right|<\frac1{n^a} \end{array}\right\}.

求 $\mu(B_3)$ 和 $\mu(B_4)$ 。

(3) 证明 $\mu(\limsup_{n\to\infty}B_n)=0$ 。

$E_n=\bigcup_{k=n}^\infty A_k$ とすると、

0\le\mu\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right) \le\mu(E_n)\le\sum_{k=n}^\infty\mu(A_k)\longrightarrow0.

よって $\mu(\limsup A_n)=0$ である。

$n\ge2$ に対し、該当する区間は

\left(\frac{k}{n}-\frac1{n^a},\frac{k}{n}+\frac1{n^a}\right), \qquad 1\le k\le n-1,\quad \gcd(k,n)=1

である。 $a>2$ より各区間は $(0,1)$ に含まれ、長さ $2/n^a<1/n$ だから互いに交わらない。 $n=3$ では $k=1,2$ 、 $n=4$ では $k=1,3$ の二つなので、

\mu(B_3)=\frac4{3^a},\qquad \mu(B_4)=\frac4{4^a}.

$n\ge2$ で該当する $k$ は高々 $n-1$ 個だから、

\mu(B_n)\le\frac{2(n-1)}{n^a}\le\frac2{n^{a-1}}.

$a-1>1$ と $\mu(B_1)\le1$ より $\sum_n\mu(B_n)<\infty$ である。(1) を $B_n$ に適用すると $\mu(\limsup B_n)=0$ を得る。