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東北大学 理学研究科 数学専攻 2015年8月実施 選択問題 [3]

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祭音Myyura (Based on L^2's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題は 88 題ある。33 題を選択して解答すること。

R4\mathbb R^4 の部分集合

A:={(x,y,z,w)∈R4∣1≤x2+y2+z2≤9, w=0},B:={(x,y,z,w)∈R4∣1≤x2+y2+w2≤9, z=0}\begin{aligned} A&:=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4\mid 1\le x^2+y^2+z^2\le9,\ w=0\},\\ B&:=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4\mid 1\le x^2+y^2+w^2\le9,\ z=0\} \end{aligned}

に対して、以下の問いに答えよ。

(1) nn 次元球面 SnS^n の pp 次整係数ホモロジー群 Hp(Sn)H_p(S^n) が Z\mathbb Z と同型となる pp は何か答えよ。ただし、証明はしなくてよい。

(2) AA が 22 次元球面 S2S^2 とホモトピー同値であることを示せ。

(3) A∩BA\cap B の整係数ホモロジー群を求めよ。

(4) A∪BA\cup B の整係数ホモロジー群を求めよ。

题目描述​

本卷共 88 道题，请选择其中 33 道作答。

对于 R4\mathbb R^4 的子集

A:={(x,y,z,w)∈R4∣1≤x2+y2+z2≤9, w=0},B:={(x,y,z,w)∈R4∣1≤x2+y2+w2≤9, z=0},\begin{aligned} A&:=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4\mid 1\le x^2+y^2+z^2\le9,\ w=0\},\\ B&:=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4\mid 1\le x^2+y^2+w^2\le9,\ z=0\}, \end{aligned}

回答下列问题。

(1) 给出使 nn 维球面 SnS^n 的 pp 阶整系数同调群 Hp(Sn)H_p(S^n) 同构于 Z\mathbb Z 的 pp。不必证明。

(2) 证明 AA 与二维球面 S2S^2 同伦等价。

(3) 求 A∩BA\cap B 的整系数同调群。

(4) 求 A∪BA\cup B 的整系数同调群。

Kai​

以下、係数はすべて Z\mathbb Z とする。

(1)​

n≥1n\ge1 では p=0,np=0,n である。なお n=0n=0 まで考える場合は H0(S0)≅Z2H_0(S^0)\cong\mathbb Z^2 なので、該当する pp はない。

(2)​

p=(x,y,z,0)∈Ap=(x,y,z,0)\in A に対し r=x2+y2+z2r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} とおく。写像

H(p,t)=(1−t+tr)p(0≤t≤1)H(p,t)=\left(1-t+\frac{t}{r}\right)p\qquad(0\le t\le1)

を考えると、その原点からの距離は (1−t)r+t∈[1,3](1-t)r+t\in[1,3] なので H(p,t)∈AH(p,t)\in A である。また H(p,0)=pH(p,0)=p、H(p,1)=p/rH(p,1)=p/r であり、r=1r=1 の点は常に固定される。したがって AA は単位球面 S2×{0}S^2\times\{0\} に強変形収縮し、A≃S2A\simeq S^2 である。

(3)​

A∩B={(x,y,0,0)∣1≤x2+y2≤9}A\cap B=\{(x,y,0,0)\mid1\le x^2+y^2\le9\}

は平面内の閉円環であり、半径方向の変形収縮により S1S^1 とホモトピー同値である。よって

Hq(A∩B)≅{Zq=0,1,0q≥2.H_q(A\cap B)\cong \begin{cases} \mathbb Z & q=0,1,\\ 0 & q\ge2. \end{cases}

(4)​

(2) の半径方向の変形収縮は A∪BA\cup B 全体でも定義でき、AA と BB をそれぞれ単位 22 球面へ、共通部分を共通の赤道へ同時に収縮させる。この二つの球面には共通の赤道を部分複体とする CW 分割を取れるので、Mayer–Vietoris 完全列を適用できる。

A≃S2A\simeq S^2、B≃S2B\simeq S^2、A∩B≃S1A\cap B\simeq S^1 より、高次の部分は

0⟶Z2⟶H2(A∪B)⟶Z⟶00\longrightarrow\mathbb Z^2\longrightarrow H_2(A\cup B) \longrightarrow\mathbb Z\longrightarrow0

となる。右端が自由アーベル群なので分裂し、H2(A∪B)≅Z3H_2(A\cup B)\cong\mathbb Z^3 を得る。低次の部分では

0⟶H1(A∪B)⟶Z→ a↦(a,−a) Z2⟶H0(A∪B)⟶0.0\longrightarrow H_1(A\cup B)\longrightarrow\mathbb Z \xrightarrow{\ a\mapsto(a,-a)\ }\mathbb Z^2 \longrightarrow H_0(A\cup B)\longrightarrow0.

中央の写像は単射であり、その余核は Z\mathbb Z である。以上から

Hq(A∪B)≅{Zq=0,Z3q=2,0q=1 または q≥3.\boxed{ H_q(A\cup B)\cong \begin{cases} \mathbb Z & q=0,\\ \mathbb Z^3 & q=2,\\ 0 & q=1\text{ または }q\ge3. \end{cases}}

Reference​

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