東北大学 理学研究科 地球物理学専攻 2022年8月実施 [7]

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Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

(1) 次の微分方程式を解け。なお、問 (ii) は非自明解を求めること。

$$\begin{aligned} &\text{(i)} &\frac{dy}{dx} = \frac{y-1}{xy} \\ &\text{(ii)} &\left\{ \begin{aligned} &\frac{dy_1}{dx} = 6y_1 - 3y_2 - 7y_3 \\ &\frac{dy_2}{dx} = -y_1 + 2y_2 + y_3 \\ &\frac{dy_3}{dx} = 5y_1 - 3y_2 - 6y_3 \end{aligned} \right. \end{aligned}$$

(2) 図１のように長径 $2a$、短径 $2b$ の楕円に内接する長方形の面積の最大値を、ラグランジュの未定乗数法を用いて求めよ。ただし、$a, b$ は正の定数とする。

(3) $I \equiv \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\ \text{d}x$ とするとき、$I^2 = \frac{\pi}{a}$ であることを示せ。ただし、$a$ は正の定数とする。

(4) ある部品を使い始めてから故障するまでの時間 $t$ が指数分布 $p(t) = \lambda \exp(-\lambda t)$ に従うとする。ただし、$\lambda > 0$, $t \ge 0$ とする。

• (i) 部品を使い始めてから時間 $T$ までに故障が起こらない確率を求めよ。
• (ii) 部品を使い始めてから時間 $T$ まで故障が起こらなかったと条件の下で、その後、時刻 $T+\Delta T$ までの間に故障が起こる確率を求めよ。
• (iii) 部品を使い始めてから故障するまでの平均時間を求めよ。

题目描述

回答下列问题。

1. 求解微分方程；第 2 个方程组要求给出非零解：

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{y-1}{xy},$$
   $$\begin{cases} y_1'=6y_1-3y_2-7y_3,\\ y_2'=-y_1+2y_2+y_3,\\ y_3'=5y_1-3y_2-6y_3. \end{cases}$$

2. 如图 1，在长轴为 $2a$、短轴为 $2b$ 的椭圆内接一个边平行于坐标轴的矩形。用 Lagrange 乘数法求其最大面积，其中 $a,b>0$。

3. 对 $a>0$，令

   $$I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,dx,$$

   证明 $I^2=\pi/a$。

4. 部件从开始使用到故障的时间 $t$ 服从指数分布

   $$p(t)=\lambda e^{-\lambda t},\qquad \lambda>0,\ t\ge0.$$
   1. 求使用至时刻 $T$ 仍未故障的概率；
   2. 已知至 $T$ 未故障，求在随后区间 $(T,T+\Delta T]$ 内故障的条件概率；
   3. 求平均故障时间。

Kai

(1)

(i)

$x\ne0$, $y\ne0$ とする。$y\ne1$ のとき、変数分離により

$$\frac{y}{y-1}\,dy=\frac{dx}{x}$$

なので、

$$y+\log|y-1|=\log|x|+C$$

を得る。また、$y=1$ も定数解である。

(ii)

係数行列の固有値と固有ベクトルは

$$\begin{array}{c|c} -1&(1,0,1)^T\\ 1&(2,1,1)^T\\ 2&(1,-1,1)^T \end{array}$$

である。したがって一般解は

$$\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix} =C_1e^{-x}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} +C_2e^x\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} +C_3e^{2x}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix},$$

ただし非自明解では $(C_1,C_2,C_3)\ne(0,0,0)$ である。

(2)

楕円に内接する長方形の頂点の座標を $(x,y)$ ただし $x,y \gt 0$ とすると、

$$\begin{align} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \tag{A} \end{align}$$

が成り立ち、長方形の面積は

$$\begin{aligned} S = 4xy \end{aligned}$$

である。

そこで、ラグランジュの未定乗数 $\lambda$ を導入して、

$$\begin{aligned} T &= S - \lambda \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1 \right) \\ &= 4xy - \lambda \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1 \right) \end{aligned}$$

とおき、

$$\begin{align} 0 &= \frac{\partial T}{\partial x} = 4y - \frac{2 \lambda}{a^2} x \tag{B} , \\ 0 &= \frac{\partial T}{\partial y} = 4x - \frac{2 \lambda}{b^2} y \tag{C} \end{align}$$

とおく。

式 ($A$), ($B$), ($C$) から

$$\begin{aligned} \lambda = 2ab, \ \ x = \frac{a}{\sqrt{2}}, \ \ y = \frac{b}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

が得られるので、求める最大値は

$$\begin{aligned} 4 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{b}{\sqrt{2}} = 2ab \end{aligned}$$

である。

(3)

$$\begin{aligned} I^2 &= \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx \int_{-\infty}^\infty e^{-ay^2} dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dy \ e^{-a(x^2+y^2)} \\ &= \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^\infty dr \ r e^{-ar^2} \ \ \ \ \ \ \ \ ( x = r \cos \theta , \ y = r \sin \theta ) \\ &= 2 \pi \left[ - \frac{1}{2a} e^{-ar^2} \right]_0^\infty \\ &= \frac{\pi}{a} \end{aligned}$$

(4)

(i)

時刻 $T$ までに故障する確率は

$$\begin{aligned} F(T) &= \int_0^T p(t) dt \\ &= \lambda \int_0^T \exp (- \lambda t) dt \\ &= - \left[ \exp (- \lambda t) \right]_0^T \\ &= 1 - \exp (- \lambda T) \end{aligned}$$

であるから、求める確率は

$$\begin{aligned} 1 - F(T) &= \exp (- \lambda T) \end{aligned}$$

である。

(ii)

(i) の $F$ を使って、求める条件付き確率は次のように計算できる：

$$\begin{aligned} \frac{F(T + \Delta T) - F(T)}{1 - F(T)} &= 1 - \exp ( - \lambda \Delta T ) \end{aligned}$$

(iii)

$$\begin{aligned} \int_0^\infty t p(t) dt &= \lambda \int_0^\infty t \exp (- \lambda t) dt \\ &= - \left[ t \exp (- \lambda t) \right]_0^\infty + \int_0^\infty \exp (- \lambda t) dt \\ &= \left[ - \frac{1}{\lambda} \exp (- \lambda t) \right]_0^\infty \\ &= \frac{1}{\lambda} \end{aligned}$$

Reference

• 東北大学 地球物理学専攻 2023年度入試 第7問