東北大学 理学研究科 化学専攻 2022年8月実施 2B

标签：

• Tohoku-University
• Harmonic-Oscillator-Ground-State
• Wavefunction-Normalization-and-Energy-Expectation
• Harmonic-Oscillator-First-Excited-State

Author

Miyake

Description

题目描述

原文的题目描述及解答均缺失，当前文件无法还原具体题目。

考点

• 资料缺失：现有文件未保留可用于判断本题知识点的题干、公式或解答。

Kai

問 1

$$\begin{aligned} 1 &= \int_{- \infty}^\infty \left| \varphi_0(x) \right|^2 dx \\ &= \left| A \right|^2 \int_{- \infty}^\infty \exp \left( - 2 \alpha x^2 \right) dx \\ &= \left| A \right|^2 \left( \frac{\pi}{2 \alpha} \right)^\frac{1}{2} \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} A = \left( \frac{2 \alpha}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \end{aligned}$$

とすればよい。

問 2

$$\begin{aligned} - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \varphi_0(x)}{dx^2} + v(x) \varphi_0(x) = E_0 \varphi_0(x) \end{aligned}$$

問 3

問 2 のシュレディンガー方程式に $\varphi_0(x) = A \exp (-\alpha x^2)$ を代入して整理すると、 次のようになる：

$$\begin{aligned} \frac{\hbar^2 \alpha}{m} \left( 1 - 2 \alpha x^2 \right) + v(x) = E_0 \end{aligned}$$

よって、 $v(0)=0$ を考慮すると、

$$\begin{aligned} \begin{cases} E_0 = \frac{\hbar^2 \alpha}{m} \\ v(x) = - \frac{2 \hbar^2 \alpha^2}{m} x^2 \end{cases} \end{aligned}$$

が得られ、 $v(x)$ が $x$ について2次関数であることがわかる。

問 4

問 3 より、

$$\begin{aligned} k &= \frac{4 \hbar^2 \alpha^2}{m} \\ \therefore \ \ \alpha &= \frac{\sqrt{mk}}{2 \hbar} \end{aligned}$$

がわかる。

問 5

問 3, 4 より、

$$\begin{aligned} E_0 &= \frac{\hbar^2}{m} \cdot \frac{\sqrt{mk}}{2 \hbar} \\ &= \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{k}{m}} \end{aligned}$$

がわかる。

問 6

$\varphi_1(x)$ に対するシュレディンガー方程式

$$\begin{aligned} - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \varphi_1(x)}{dx^2} + v(x) \varphi_1(x) = E_1 \varphi_1(x) \end{aligned}$$

に $\varphi_1(x) = Bx \exp( - \alpha x^2)$ を代入して整理すると、

$$\begin{aligned} E_1 &= \frac{3\hbar}{2} \sqrt{\frac{k}{m}} \end{aligned}$$

を得る。