東北大学 理学研究科 天文学専攻 2025年度 物理（4）

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

問1

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の一次元調和振動子を考える。

(a)

波動関数を $\phi(x)$、エネルギーを $E$ として、時間に依存しない Schrödinger 方程式を書け。

(b)

無次元量

$$\xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x, \qquad \epsilon=\frac{2E}{\hbar\omega}$$

を用いて方程式を無次元化せよ。

(c)

$|\xi|$ が大きいとき、規格化可能な波動関数が

$$\phi(\xi)\simeq\exp\left(-\frac{\xi^2}{2}\right)$$

と漸近することを示せ。

(d)

$\phi(\xi)=H(\xi)e^{-\xi^2/2}$ とおき、$H$ の微分方程式を求めよ。

(e)

$H(\xi)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\xi^n$ として、$a_n$ の漸化式を求めよ。

(f)

規格化可能性から級数が有限次数で終わることを用いて、

$$E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right)$$

を示せ。

問2

$z$ 方向の一様な磁場 $\boldsymbol B=B\boldsymbol e_z$ 中の電子を考える。スピンは無視し、電子の質量を $m$、電荷を $-e$ とする。

(a)

電磁場が、任意のスカラー関数 $\lambda$ に対する

$$\phi'=\phi+\frac{\partial\lambda}{\partial t}, \qquad \boldsymbol A'=\boldsymbol A-\nabla\lambda$$

で不変であることを示し、この性質の名称を答えよ。

(b)

$\boldsymbol B=B\boldsymbol e_z$ を与え、$A_x=A_z=0$ を満たす最も簡単な $A_y$ を求めよ。

電子の Hamiltonian は

$$\hat H=\frac1{2m} [\hat{\boldsymbol p}+e\boldsymbol A(\hat{\boldsymbol x})]^2$$

とする。

(c)

$z$ 方向の運動量 $p_z$ が保存することを示せ。

(d)

$x$–$y$ 平面内では

$$\hat H=\frac1{2m}\left[\hat p_x^2+(\hat p_y+eA_y)^2\right]$$

となる。$[\hat p_y,\hat H]=0$ を示せ。

(e)

$\hat p_y$ の固有値を $k_y$ とするとき、$x$ 方向の運動が調和振動子に対応することを示せ。

(f)

量子化されたエネルギー準位（Landau 準位）を求めよ。

(g)

基底状態と第 $n$ 励起状態のエネルギー差を

$$\Delta E_n=nX\left(\frac{B}{1\ \mathrm{T}}\right)\mathrm{eV}$$

と書き、$X$ を有効数字1桁で求めよ。必要なら

$$\hbar=6.6\times10^{-16}\ \mathrm{eV\,s},\quad m=9.1\times10^{-31}\ \mathrm{kg},\quad e=1.6\times10^{-19}\ \mathrm C$$

を用いてよい。

(h)

ある天体の X 線スペクトルに、ほぼ等間隔の吸収構造が観測された。図の矢印の概略位置は次の通りである。これらを電子の Landau 準位によるものとして磁場 $B$ を推定せよ。

吸収構造	エネルギー
1	約 $28\ \mathrm{keV}$
2	約 $55\ \mathrm{keV}$
3	約 $80\ \mathrm{keV}$

Kai

問1

(a)

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\phi}{dx^2} +\frac12m\omega^2x^2\phi=E\phi.$$

(b)

$$-\frac{d^2\phi}{d\xi^2}+\xi^2\phi=\epsilon\phi.$$

(c)

$\phi=e^{S}$ とおくと

$$-S''-(S')^2+\xi^2=\epsilon.$$

$|\xi|\to\infty$ では $(S')^2\simeq\xi^2$ だから $S\simeq\pm\xi^2/2$。規格化可能な方を選び、

$$\phi(\xi)\simeq e^{-\xi^2/2}.$$

(d)

代入すると

$$H''-2\xi H'+(\epsilon-1)H=0.$$

(e)

係数比較により

$$(n+2)(n+1)a_{n+2}+(\epsilon-1-2n)a_n=0,$$

すなわち

$$a_{n+2}=\frac{2n+1-\epsilon}{(n+2)(n+1)}a_n.$$

(f)

級数が $n=N$ で終わるには

$$2N+1-\epsilon=0$$

が必要である。したがって

$$\epsilon_N=2N+1, \qquad E_N=\frac{\hbar\omega}{2}\epsilon_N =\hbar\omega\left(N+\frac12\right).$$

問2

(a)

$$\begin{aligned} \boldsymbol E' &=-\nabla\phi'-\frac{\partial\boldsymbol A'}{\partial t} =-\nabla\phi-\frac{\partial\boldsymbol A}{\partial t} =\boldsymbol E,\\ \boldsymbol B' &=\nabla\times\boldsymbol A' =\nabla\times\boldsymbol A =\boldsymbol B. \end{aligned}$$

したがって電磁場は不変である。この性質を gauge invariance（ゲージ不変性）という。

(b)

$$\boxed{\boldsymbol A=(0,Bx,0)}$$

とすれば $(\nabla\times\boldsymbol A)_z=\partial A_y/\partial x=B$ となる。

(c)

$\boldsymbol A$ と $\hat H$ は $z$ に依存しないから

$$\frac{d\hat p_z}{dt} =\frac1{i\hbar}[\hat p_z,\hat H] =0.$$

よって $p_z$ は保存する。

(d)

$A_y=Bx$ は $y$ に依存せず、$[\hat p_y,\hat p_x]=[\hat p_y,\hat x]=0$ である。したがって

$$\boxed{[\hat p_y,\hat H]=0}.$$

(e)

$\hat p_y$ の固有値を $k_y$ とすると

$$\begin{aligned} \hat H_x &=\frac{\hat p_x^2}{2m}+\frac{(k_y+eBx)^2}{2m}\\ &=\frac{\hat p_x^2}{2m} +\frac12m\omega_c^2(x+x_0)^2, \end{aligned}$$

ただし

$$\omega_c=\frac{eB}{m},\qquad x_0=\frac{k_y}{eB}.$$

よって中心が $-x_0$ の調和振動子である。

(f)

問1の結果より

$$\boxed{E_n=\hbar\omega_c\left(n+\frac12\right) =\frac{\hbar eB}{m}\left(n+\frac12\right)} \qquad(n=0,1,2,\ldots).$$

(g)

$$\Delta E_n=n\frac{\hbar eB}{m} =n\left(\frac{\hbar e}{m}\,1\mathrm T\right) \left(\frac{B}{1\mathrm T}\right).$$

したがって

$$X=\frac{(6.6\times10^{-16})(1.6\times10^{-19})} {9.1\times10^{-31}} =1.16\times10^{-4}.$$

有効数字1桁で

$$\boxed{X=1\times10^{-4}}.$$

(h)

吸収構造の間隔は約 $28\ \mathrm{keV}$ なので

$$B\simeq \frac{2.8\times10^4\ \mathrm{eV}} {1.16\times10^{-4}\ \mathrm{eV/T}} =2.4\times10^8\ \mathrm T.$$

したがって

$$\boxed{B\simeq2.4\times10^8\ \mathrm T =2.4\times10^{12}\ \mathrm G}.$$

Reference

• 東北大学 天文学専攻 令和7年度筆記試験問題
• Miyake：2025年度 物理（4）問1