東北大学 情報科学研究科 社会科学群 2022年8月実施 問題 E-3

标签：

• Tohoku-University
• Integral-of-Inverse-Function
• Nilpotent-Matrix
• Matrix-Power

Author

Miyake

Description

日本語版

(1) 関数 $f(x)$ は閉区間 $x \in [3,10]$ において連続で、単調減少である。さらに、$f(3)=10$, $f(10)=5$, $\int_3^{10} f(x)dx = 42.5$ とする。積分 $\int_5^{10} f^{-1} (x) dx$ を計算しなさい。

(2) $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ とし、$(J' + 2J^2)^{3n}$ を求めなさい。ただし、$J'$ は $J$ の転置行列であり、$n$ は自然数である。

English Version

(1) Suppose $f(x)$ is continuous and decreasing on the closed interval $x \in [3,10]$. Furthermore, $f(3)=10$, $f(10)=5$, and $\int_3^{10} f(x)dx = 42.5$ hold. Calculate $\int_5^{10} f^{-1} (x) dx$.

(2) Let $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Calculate $(J' + 2J^2)^{3n}$, where $J'$ is the transpose of $J$, and $n$ is a natural number.

题目描述

回答下列问题。

1. 函数 $f$ 在闭区间 $[3,10]$ 上连续且严格单调递减，并满足 $f(3)=10,\qquad f(10)=5,\qquad \int_3^{10}f(x)\,dx=42.5.$ 计算 $\int_5^{10}f^{-1}(x)\,dx.$
2. 令 $J=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix},$ $J'$ 为 $J$ 的转置，$n$ 为自然数。求 $(J'+2J^2)^{3n}.$

Kai

(1)

$t = f^{-1}(x)$ とおくと、 $x=f(t), \ dx=f'(t)dt$ であり、次のように計算できる：

$$\begin{aligned} \int_5^{10} f^{-1}(x) dx &= \int_{10}^3 t f'(t) dt \\ &= \left[ t f(t) \right]_{10}^3 - \int_{10}^3 f(t) dt \\ &= 3 \cdot 10 - 10 \cdot 5 + 42.5 \\ &= 22.5 \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} J' + 2J^2 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ \left( J' + 2J^2 \right)^2 &= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \left( J' + 2J^2 \right)^3 &= 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

なので、自然数 $n$ について次が成り立つことがわかる：

$$\begin{aligned} \left( J' + 2J^2 \right)^{3n} &= 2^n \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$