東北大学 情報科学研究科 数学教室 2021年8月実施 [7]

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• Convolution-of-Independent-Random-Variables
• Cumulative-Distribution-Function-and-Probability-Density-Function

Author

Miyake

Description

区間 $[−1,1]$ 上の一様分布に従う独立な確率変数 $X,Y$ に対して，それらの和 $Z=X+Y$ を考える．

(1) 確率変数 $Z$ の平均値 $E[Z]$ と分散 $V[Z]$ を求めよ．

(2) 実数 $u$ に対して，確率 $P(Z \le u)$ を求めよ．

(3) 確率変数 $Z$ の確率密度関数を求めて，そのグラフの概形を図示せよ．

题目描述

设 $X,Y$ 为相互独立且均在区间 $[-1,1]$ 上服从均匀分布的随机变量，令 $Z=X+Y.$

1. 求 $E[Z]$ 与 $V[Z]$。
2. 对任意实数 $u$，分段求累积分布函数 $P(Z\le u)$。
3. 求 $Z$ 的概率密度函数，并画出其大致图形。

考点

• 独立随机变量之和：利用期望、方差的可加性。
• 卷积：由两个均匀密度的重叠区间长度求和的密度。
• 累积分布函数：在正方形联合样本空间中按半平面面积分段计算概率。
• 三角分布：识别两个同区间均匀变量之和的分段线性密度。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} E[X] = 0, V[X] = \frac{1}{3}, E[Y] = 0, V[Y] = \frac{1}{3} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} E[Z] = E[X] + E[Y] = 0 \end{aligned}$$

であり、また、 $X,Y$ が独立であることを考慮して、

$$\begin{aligned} V[Z] = V[X] + V[Y] = \frac{2}{3} \end{aligned}$$

である。

(2)

$u \leq -2$ のときは、

$$\begin{aligned} P(Z \leq u) = 0 \end{aligned}$$

である。

$-2 \leq u \leq 0$ のときは、

$$\begin{aligned} P(Z \leq u) = \frac{\frac{1}{2} (2+u)^2}{4} = \frac{(u+2)^2}{8} \end{aligned}$$

である。

$0 \leq u \leq 2$ のときは、

$$\begin{aligned} P(Z \leq u) = 1 - \frac{\frac{1}{2} (2-u)^2}{4} = \frac{-u^2+4u+4}{8} \end{aligned}$$

である。

$2 \leq u$ のときは、

$$\begin{aligned} P(Z \leq u) = 1 \end{aligned}$$

である。

(3)

求める確率密度関数を $f(u)$ とする。

$u \leq -2$ のときは、

$$\begin{aligned} f(u) = 0 \end{aligned}$$

である。

$-2 \leq u \leq 0$ のときは、

$$\begin{aligned} f(u) = \frac{d}{du} \frac{(u+2)^2}{8} = \frac{u+2}{4} \end{aligned}$$

である。

$0 \leq u \leq 2$ のときは、

$$\begin{aligned} f(u) = \frac{d}{du} \frac{-u^2+4u+4}{8} = \frac{-u+2}{4} \end{aligned}$$

である。

$2 \leq u$ のときは、

$$\begin{aligned} f(u) = 0 \end{aligned}$$

である。