東北大学 情報科学研究科 数学教室 2019年8月実施 [6]

Author

Miyake

Description

一様分布が与えられた単位円板 からランダムに１点を選び，その座標を とする．

(1) 確率変数 の確率密度関数 を求めよ．

(2) 確率変数 の平均値 と分散 を求めよ．

(3) 2つの確率変数 の共分散を求めよ．ただし，共分散は

で定義される．

(4) 2つの確率変数 は独立であるか．理由を付して答えよ．

Kai

(1)

単位円板 の面積は であるから、 の同時密度関数 は、

である。 よって、

である。

(2)

は 偶関数であるから、明らかに、

である。 また、

であるから、

である。

(3)

と同様に である。 また、 でもある。 よって、

である。

(4)

の確率密度関数 は (1) と同様にして、

である。 よって、

であるから、 は独立でない。