東北大学情報科学研究科数学教室 2019年8月実施 [6]

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一様分布が与えられた単位円板 $\Omega = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 \le 1\}$ からランダムに１点を選び，その座標を $(X,Y)$ とする．

(1) 確率変数 $X$ の確率密度関数 $f_X(x)$ を求めよ．

(2) 確率変数 $X$ の平均値 $\boldsymbol{E}[X]$ と分散 $\boldsymbol{V}[X]$ を求めよ．

(3) 2つの確率変数 $X,Y$ の共分散を求めよ．ただし，共分散は

\boldsymbol{Cov}(X, Y) = \boldsymbol{E}[(X - \boldsymbol{E}[X])(Y - \boldsymbol{E}[Y])]

で定義される．

(4) 2つの確率変数 $X,Y$ は独立であるか．理由を付して答えよ．

从带均匀面积分布的单位圆盘

\Omega=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2\le1\}

中随机选取一点，坐标记为 $(X,Y)$ 。

単位円板 $\Omega$ の面積は $\pi$ であるから、 $X, Y$ の同時密度関数 $f(x,y)$ は、

\begin{aligned} f(x,y) = \frac{1}{\pi} \ \ \ \ \left( (x,y) \in \Omega \right) \end{aligned}

である。よって、

\begin{aligned} f_X(x) &= \int_{- \sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} f(x,y) dy \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{- \sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} dy \\ &= \frac{2}{\pi} \sqrt{1 - x^2} \ \ \ \ \ \ \ \ ( -1 \leq x \leq 1 ) \end{aligned}

である。

$f_X(x)$ は偶関数であるから、明らかに、

\begin{aligned} E[X] = 0 \end{aligned}

である。また、

\begin{aligned} E[X^2] &= \int_{-1}^1 x^2 f_X(x) dx \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{-1}^1 x^2 \sqrt{1 - x^2} dx \\ &= \frac{4}{\pi} \int_0^1 x^2 \sqrt{1 - x^2} dx \\ &= \frac{4}{\pi} \int_0^{\pi / 2} \sin^2 \theta \cos^2 \theta d \theta \ \ \ \ \ \ \ \ ( x = \sin \theta ) \\ &= \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi / 2} \sin^2 2 \theta d \theta \\ &= \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi / 2} \frac{1 - \cos 4 \theta}{2} d \theta \\ &= \frac{1}{2 \pi} \left[ \theta - \frac{1}{4} \sin 4 \theta \right]_0^{\pi / 2} \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}

であるから、

\begin{aligned} V[X] &= E[X^2] - E[X]^2 \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}

である。

$E[X] = 0$ と同様に $E[Y] = 0$ である。また、 $E[XY] = 0$ でもある。よって、

\begin{aligned} \text{Cov} (X, Y) = 0 \end{aligned}

である。

$Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ は (1) と同様にして、

\begin{aligned} f_Y(y) = \frac{2}{\pi} \sqrt{ 1 - y^2 } \ \ \ \ \ \ \ \ ( -1 \leq y \leq 1 ) \end{aligned}

である。よって、

\begin{aligned} f(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y) \end{aligned}

であるから、 $X,Y$ は独立でない。