東北大学 情報科学研究科 数学教室 2017年8月実施 [6]

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• Cumulative-Distribution-Function-and-Probability-Density-Function

Author

Miyake

Description

$n$ を自然数とし，$X_1, X_2, \ldots, X_n$ を $[0,1]$ 上の一様分布に従う独立同分布な確率変数列とする．$M_n = \max \{X_1, X_2, \ldots, X_n \}$, $L_n = \min \{X_1, X_2, \ldots, X_n \}$ とおく．

(1) 実数 $x$ に対して，$F(x)=P(M_2 \le x)$ を求めよ．

(2) $M_2$ の確率密度関数を求め，$M_2$ の平均値を計算せよ.

(3) $L_n$ の確率密度関数を求めて，その平均値を計算せよ．

Kai

(1)

$$\begin{aligned} F(x) &= P(M_2 \leq x) \\ &= P(X_1 \leq x \text{ and } X_2 \leq x) \\ &= P(X_1 \leq x) P(X_2 \leq x) \\ &= \begin{cases} 0 & (x \lt 0) \\ x^2 & (0 \leq x \leq 1) \\ 1 & (1 \lt x) \end{cases} \end{aligned}$$

(2)

$M_2$ の確率密度関数 $f(x)$ は、

$$\begin{aligned} f(x) &= \frac{d}{dx} F(x) \\ &= \begin{cases} 0 & (x \lt 0) \\ 2x & (0 \lt x \lt 1) \\ 0 & (1 \lt x) \end{cases} \end{aligned}$$

であり、$M_2$ の平均値は、

$$\begin{aligned} E(M_2) &= \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx \\ &= 2 \int_0^1 x^2 dx \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned}$$

である。

(3)

$$\begin{aligned} P(L_n \leq x) &= 1 - P(L_n \gt x) \\ &= 1 - P(X_1 \gt x \text{ and } X_2 \gt x \text{ and } \cdots \text{ and } X_n \gt x) \\ &= 1 - P(X_1 \gt x) P(X_2 \gt x) \cdots P(X_n \gt x) \\ &= \begin{cases} 0 & (x \lt 0) \\ 1 - (1-x)^n & (0 \leq x \leq 1) \\ 1 & (1 \lt x) \end{cases} \end{aligned}$$

であるから、 $L_n$ の確率密度関数 $g(x)$ は、

$$\begin{aligned} g(x) &= \frac{d}{dx} P(L_n \leq x) \\ &= \begin{cases} 0 & (x \lt 0) \\ n(1-x)^{n-1} & (0 \lt x \lt 1) \\ 0 & (1 \lt x) \end{cases} \end{aligned}$$

であり、 $L_n$ の平均値は、

$$\begin{aligned} E(L_n) &= \int_{-\infty}^\infty x g(x) dx \\ &= n \int_0^1 x (1-x)^{n-1} dx \\ &= \frac{1}{n+1} \end{aligned}$$

である。