東北大学 情報科学研究科 数学教室 2016年8月実施 [6]

Author

Miyake

Description

関数 を を満たす， 上の単調な連続関数とし，

とおく．今， を 上の一様分布に従う確率変数とし，

を考える．

(1) 期待値 と分散 を を用いて表せ．

(2) 任意の について，

が成立することを示せ．

(3) 次の不等式を示せ．

(4) を 上の一様分布に従う独立同分布確率変数列とする．次の二つの統計量

のうち， を計算するために，より有効な推定量はどちらか．

Kai

(1)

(2)

が単調増加であるとし、 とすると、 であり、

を得る。 が単調増加であるとし、 とすると、 であり、

を得る。 が単調減少の場合も同様にして示せる。

(3)

に対する条件より、

なる が存在する。 (2) で示した不等式において として整理すると、

を得る。

(4)

とおくと、(1) より、

であり、 (2) より、

である。 そこで、与えられた の分散を計算すると、

であり、

であるから、 の方が有効な推定量である。