東北大学 環境科学研究科 エネルギー環境群 2022年8月実施 基礎科目 数学2

标签：

• 东北大学
• 线性无关性
• 核与像

Author

Miyake

Description

以下の問いに答えよ。

(1)

$\mathbb R^3$ のベクトル

$$\boldsymbol a_1=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix},\quad \boldsymbol a_2=\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol a_3=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$$

について、以下の問いに答えよ。

(1-1) $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2$ の組は一次独立であることを示せ。

(1-2) $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\boldsymbol a_3$ の組は一次従属であることを示せ。

(1-3) $\boldsymbol b$ が $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\boldsymbol a_3$ の一次結合として表せるための条件を求めよ。

(2)

連立方程式

$$\begin{cases} x_1+2x_2-2x_3+3x_4=2,\\ 2x_1+4x_2-3x_3-2x_4=3,\\ -x_1-2x_2+2x_3+x_4=2,\\ -2x_1-4x_2+4x_3-6x_4=-4 \end{cases}$$

について、以下の問いに答えよ。

(2-1) 連立方程式の解が存在することを rank（階数）を用いて示せ。

(2-2) 連立方程式の解の自由度を示せ。

(2-3) 連立方程式の解を求めよ。

(3)

2次形式 $f=3x^2+4y^2+3z^2+2xy+2yz+4xz$ について、以下の問いに答えよ。

(3-1) $f$ は対称行列 $A$ を用いて

$$f=(x\ y\ z)A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$

と表せる。対称行列 $A$ を示せ。

(3-2) 対称行列 $A$ は直交行列 $P$ により対角化できる。直交行列 $P$ を求めよ。

(3-3) 2次形式 $f$ を標準形にせよ。

(3-4) 2次形式 $f$ はどのような図形を表すか答えよ。

(3-5) $x^2+y^2+z^2=1$ のとき、$f$ の最大値および最小値を求めよ。

题目描述

回答以下问题。

(1) 对 $\mathbb R^3$ 中的向量

$$\boldsymbol a_1=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix},\quad \boldsymbol a_2=\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol a_3=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix},$$

回答以下问题。

(1-1) 证明向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2$ 线性无关。

(1-2) 证明向量组 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\boldsymbol a_3$ 线性相关。

(1-3) 求 $\boldsymbol b$ 能表示为 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\boldsymbol a_3$ 的线性组合的条件。

(2) 对联立方程组

$$\begin{cases} x_1+2x_2-2x_3+3x_4=2,\\ 2x_1+4x_2-3x_3-2x_4=3,\\ -x_1-2x_2+2x_3+x_4=2,\\ -2x_1-4x_2+4x_3-6x_4=-4, \end{cases}$$

回答以下问题。

(2-1) 使用秩（rank）证明方程组存在解。

(2-2) 指出方程组解的自由度。

(2-3) 求方程组的解。

(3) 对二次型 $f=3x^2+4y^2+3z^2+2xy+2yz+4xz$，回答以下问题。

(3-1) 二次型 $f$ 可用对称矩阵 $A$ 表示为

$$f=(x\ y\ z)A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.$$

写出对称矩阵 $A$。

(3-2) 对称矩阵 $A$ 可通过正交矩阵 $P$ 对角化，求正交矩阵 $P$。

(3-3) 将二次型 $f$ 化为标准形。

(3-4) 回答二次型 $f$ 表示何种图形。

(3-5) 当 $x^2+y^2+z^2=1$ 时，求二次型 $f$ 的最大值与最小值。

Kai

(1)

(1-1)

$A,B \in \boldsymbol{R}$ について

$$\begin{aligned} A \boldsymbol{a}_1 + B \boldsymbol{a}_2 = \boldsymbol{0} \end{aligned}$$

が成り立つとすると、

$$\begin{aligned} A+5B=0, \ \ A+3B=0, \ \ 3A+B=0 \end{aligned}$$

となり、 $A=B=0$ を得るので、 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2$ は一次独立である。

(1-2)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{a}_3 = - \frac{1}{2} \boldsymbol{a}_1 + \frac{1}{2} \boldsymbol{a}_2 \end{aligned}$$

が成り立つので、 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$ は一次従属である。

(1-3)

(1-1), (1-2) より、 $\boldsymbol{b}$ が $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$ の一次結合で表せるということは、 $\boldsymbol{b}$ が $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2$ の一次結合で表せるということである。

$A,B \in \boldsymbol{R}$ について

$$\begin{aligned} \boldsymbol{b} = A \boldsymbol{a}_1 + B \boldsymbol{a}_2 \end{aligned}$$

が成り立つとすると、

$$\begin{align} b_1=A+5B, \ \ b_2=A+3B, \ \ b_3=3A+B \tag{i} \end{align}$$

となるが、($i$) の1,2番目の式から

$$\begin{aligned} A = \frac{-3b_1+5b_2}{2}, \ \ B = \frac{b_1-b_2}{2} \end{aligned}$$

となり、これを ($i$) の3番目の式に代入すると、

$$\begin{aligned} -4b_1 + 7b_2 = b_3 \end{aligned}$$

を得る。 これが求める条件である。

(2)

以下の(2)、(3)は本稿で補った解答である。

(2-1)

係数行列を $C$、右辺を $\boldsymbol d$ とする。拡大係数行列を行基本変形すると

$$\left(C\mid\boldsymbol d\right) \sim \left(\begin{array}{rrrr|r} 1&2&0&0&13\\ 0&0&1&0&7\\ 0&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&0 \end{array}\right).$$

従って $\operatorname{rank}C=\operatorname{rank}(C\mid\boldsymbol d)=3$ であり、解は存在する。

(2-2)

未知数は4個なので、解の自由度は $4-\operatorname{rank}C=\boxed{1}$。

(2-3)

$x_2=t$ を自由変数とすれば

$$\boxed{(x_1,x_2,x_3,x_4)=(13-2t,t,7,1),\quad t\in\mathbb R.}$$

(3)

(3-1)

対称行列の非対角要素は交差項の係数の半分なので

$$\boxed{A=\begin{pmatrix}3&1&2\\1&4&1\\2&1&3\end{pmatrix}.}$$

(3-2)

特性方程式は

$$\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda-6)=0.$$

各固有値に対する正規直交固有ベクトルを列に並べて

$$\boxed{P=\begin{pmatrix} -1/\sqrt2&1/\sqrt6&1/\sqrt3\\ 0&-2/\sqrt6&1/\sqrt3\\ 1/\sqrt2&1/\sqrt6&1/\sqrt3 \end{pmatrix}}$$

とすれば、$P^{\mathsf T}P=I$、$P^{\mathsf T}AP=\operatorname{diag}(1,3,6)$。

(3-3)

$(x,y,z)^{\mathsf T}=P(u,v,w)^{\mathsf T}$ と変換すると

$$\boxed{f=u^2+3v^2+6w^2.}$$

(3-4)

二次形式 $f$ だけでは等位面の値が指定されていない。$f=c$ の図形として解釈すると、$c>0$ では

$$\frac{u^2}{c}+\frac{v^2}{c/3}+\frac{w^2}{c/6}=1$$

となり、原点を中心とする楕円体である。主軸方向は $P$ の各列、半軸長は $\sqrt c,\sqrt{c/3},\sqrt{c/6}$ である。$c=0$ では原点のみ、$c<0$ では実点をもたない。

(3-5)

直交変換により $u^2+v^2+w^2=1$ なので

$$1\le u^2+3v^2+6w^2\le6.$$

従って

$$\boxed{\min f=1,\qquad\max f=6.}$$

最小値は $(x,y,z)=\pm(-1,0,1)/\sqrt2$、最大値は $(x,y,z)=\pm(1,1,1)/\sqrt3$ で達成される。

Reference

• 東北大学公式問題（PDF 2ページ）