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東北大学 環境科学研究科 エネルギー環境群 2022年8月実施 基礎科目 数学1

标签：

Author​

Miyake

Description​

题目描述​

原文的题目描述及解答均缺失，当前文件无法还原具体题目。

考点​

  • 资料缺失：现有文件未保留可用于判断本题知识点的题干、公式或解答。

Kai​

(1)​

lim⁡x→+0log⁡(1x)sin⁡x=−lim⁡x→+0sin⁡xlog⁡x=0∴  lim⁡x→+0(1x)sin⁡x=1\begin{aligned} \lim_{x \to +0} \log \left( \frac{1}{x} \right)^{\sin x} &= - \lim_{x \to +0} \sin x \log x \\ &= 0 \\ \therefore \ \ \lim_{x \to +0} \left( \frac{1}{x} \right)^{\sin x} &= 1 \end{aligned}

(2)​

(2-1)​

z=y2z=y^2 とおくと、 z′=dz/dx=2yy′z' = dz/dx = 2yy' であり、与えられた微分方程式は

−x2+2z=2xz′∴  xz′−z=−12x2\begin{align} -x^2 + 2z &= 2xz' \nonumber \\ \therefore \ \ xz' - z &= - \frac{1}{2} x^2 \tag{a} \end{align}

となる。 まず、

xz′−z=0\begin{aligned} xz' - z &= 0 \end{aligned}

を考えると、その一般解は

dzz=dxx∴  z=Ax        (A は積分定数 )\begin{aligned} \frac{dz}{z} &= \frac{dx}{x} \\ \therefore \ \ z &= A x \ \ \ \ \ \ \ \ ( A \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

である。 そこで、 式 (aa) に z=A(x)xz=A(x)x （ A(x)A(x) は xx の関数）を代入して整理すると、

dA(x)dx=−12∴  A(x)=−12x+B        (B は積分定数 )\begin{aligned} \frac{dA(x)}{dx} &= - \frac{1}{2} \\ \therefore \ \ A(x) &= - \frac{1}{2} x + B \ \ \ \ \ \ \ \ ( B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

を得る。 よって、式 (aa) の一般解は

z=(−12x+B)x        (B は積分定数 )\begin{aligned} z &= \left( - \frac{1}{2} x + B \right) x \ \ \ \ \ \ \ \ ( B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

であり、与えられた微分方程式の一般解は

y=±(−12x+B)x        (B は積分定数 )\begin{aligned} y &= \pm \sqrt{\left( - \frac{1}{2} x + B \right) x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

である。

(2-2)​

まず、

y′′−3y′+2y=0\begin{aligned} y''-3y'+2y &= 0 \end{aligned}

を考え、 y=eλxy=e^{\lambda x} （ λ\lambda は xx によらない定数）を代入すると、 λ=1,2\lambda = 1, 2 を得るので、この微分方程式の一般解は

y=Aex+Be2x        (A,B は積分定数 )\begin{aligned} y = Ae^x + Be^{2x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

である。 また、与えられた微分方程式の特殊解を求めるため、 y=Cx+D+Eexsin⁡x+Fexcos⁡xy=Cx+D+Ee^x \sin x + Fe^x \cos x （ C,D,E,FC,D,E,F は xx によらない定数）を代入して整理すると、

C=12,D=34,E=−12,F=12\begin{aligned} C = \frac{1}{2}, D = \frac{3}{4}, E = - \frac{1}{2}, F = \frac{1}{2} \end{aligned}

を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は

y=Aex+Be2x+12x+34−12exsin⁡x+12excos⁡x        (A,B は積分定数 )\begin{aligned} y = Ae^x + Be^{2x} + \frac{1}{2} x + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} e^x \sin x + \frac{1}{2} e^x \cos x \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

である。

(3)​

xz平面に関して対称であることを考慮して、 求める体積 VV は次のように計算できる：

V=2∫01dy∫1−1−y21+1−y2dx∫04−(x2+y2)dz=2∫01dy∫1−1−y21+1−y2dx(4−x2−y2)=2∫01dy[(4−y2)x−x33]x=1−1−y2x=1+1−y2=4∫01dy((4−y2)1−y2−13(31−y2+(1−y2)1−y2))=83∫01dy(4−y2)1−y2=83∫0π2dθcos⁡2θ(4−sin⁡2θ)        (y=sin⁡θ)=83∫0π2dθ(4cos⁡2θ−14sin⁡22θ)=83∫0π2dθ(4⋅1+cos⁡2θ2−14⋅1−cos⁡4θ2)=83∫0π2dθ(158+2cos⁡2θ+18cos⁡4θ)=83[158θ+sin⁡2θ+132sin⁡4θ]π2=52π\begin{aligned} V &= 2 \int_0^1 dy \int_{1 - \sqrt{1-y^2}}^{1 + \sqrt{1-y^2}} dx \int_0^{4-(x^2+y^2)} dz \\ &= 2 \int_0^1 dy \int_{1 - \sqrt{1-y^2}}^{1 + \sqrt{1-y^2}} dx \left( 4-x^2-y^2 \right) \\ &= 2 \int_0^1 dy \left[ (4-y^2) x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=1-\sqrt{1-y^2}}^{x=1+\sqrt{1-y^2}} \\ &= 4 \int_0^1 dy \left( (4-y^2) \sqrt{1-y^2} - \frac{1}{3} \left( 3 \sqrt{1-y^2} + (1-y^2) \sqrt{1-y^2} \right) \right) \\ &= \frac{8}{3} \int_0^1 dy \left( 4-y^2 \right) \sqrt{1-y^2} \\ &= \frac{8}{3} \int_0^\frac{\pi}{2} d \theta \cos^2 \theta \left( 4 - \sin^2 \theta \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( y = \sin \theta ) \\ &= \frac{8}{3} \int_0^\frac{\pi}{2} d \theta \left( 4 \cos^2 \theta - \frac{1}{4} \sin^2 2 \theta \right) \\ &= \frac{8}{3} \int_0^\frac{\pi}{2} d \theta \left( 4 \cdot \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos 4 \theta}{2} \right) \\ &= \frac{8}{3} \int_0^\frac{\pi}{2} d \theta \left( \frac{15}{8} + 2 \cos 2 \theta + \frac{1}{8} \cos 4 \theta \right) \\ &= \frac{8}{3} \left[ \frac{15}{8} \theta + \sin 2 \theta + \frac{1}{32} \sin 4 \theta \right]^\frac{\pi}{2} \\ &= \frac{5}{2} \pi \end{aligned}
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