東北大学 量子エネルギー工学専攻 2023年8月実施 数学A 1

标签：

• 东北大学
• 泰勒级数
• 换元积分法
• 二重积分

Author

Miyake

Description

以下の問いに答えよ。

(1) 次の関数の $x=0$ 近傍における $3$ 次までのテイラー展開を求めよ。

$$f(x) = e^{2x} \cos x$$

(2) 次の不定積分を求めよ。

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}\ dx\ \ \ \ \ (a>0)$$

(3) 次の重積分を求めよ。

$$\iint_D \sin(x+y)\ dxdy,\ \ D=\{(x,y) \mid x \ge 0, y\ge 0, x+y \le \pi\}$$

题目描述

回答下列问题。

1. 求函数 $f(x)=e^{2x}\cos x$ 在 $x=0$ 附近至三次项的 Taylor 展开。
2. 对 $a>0$，求不定积分 $\int\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\,dx.$
3. 对三角形区域 $D=\{(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le\pi\},$ 计算 $\iint_D\sin(x+y)\,dx\,dy.$

Kai

(1)

$$\begin{aligned} f(x) &= \left( 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^3}{6} + \cdots \right) \left( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots \right) \\ &= 1 + 2x + \frac{3}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 + \cdots \end{aligned}$$

(2)

$t = x + \sqrt{a^2 + x^2}$ とおくと、

$$\begin{aligned} \frac{dt}{dx} &= 1 + \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \\ &= \frac{\sqrt{a^2 + x^2} + x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \\ &= \frac{t}{\sqrt{a^2 + x^2}} \\ \therefore \ \ \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} &= \frac{dt}{t} \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} &= \int \frac{dt}{t} \\ &= \log \left| t \right| + C \\ &= \log \left| x + \sqrt{a^2 + x^2} \right| + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

である。

(3)

$$\begin{aligned} \iint_D \sin (x+y) \ dx dy &= \int_0^\pi dx \int_0^{\pi - x} dy \sin (x+y) \\ &= \int_0^\pi dx \left[ - \cos (x+y) \right]_{y=0}^{y = \pi - x} \\ &= \int_0^\pi dx \left( 1 + \cos x \right) \\ &= \left[ x + \sin x \right]_0^\pi \\ &= \pi \end{aligned}$$