東北大学工学研究科機械系 2024年8月実施数学A 2

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行列 $A$ が

A = \begin{pmatrix} a & 1- a \\ 1+a & -a \end{pmatrix}

により与えられる。ただし、 $a$ は定数である。 $n$ を正の整数とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) 行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

(2) $A^n$ を求めよ。

(3) 次の $4 \times 4$ 行列のランクを求めよ。

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} a - \lambda & 1-a \\ 1+a & -a - \lambda \end{pmatrix} \\ &= ( \lambda + 1 )( \lambda - 1 ) \\ \therefore \ \ \lambda &= \pm 1 \end{aligned}

となる。

固有値 $-1$ に属する固有ベクトルを求めるため

\begin{aligned} \begin{pmatrix} a+1 & 1-a \\ 1+a & -a+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

とおくと、 $(a+1)u=(a-1)v$ を得るので、固有ベクトルとして、例えば

\begin{aligned} \begin{pmatrix} a-1 \\ a+1 \end{pmatrix} \end{aligned}

がある。

固有値 $1$ に属する固有ベクトルを求めるため

\begin{aligned} \begin{pmatrix} a-1 & 1-a \\ 1+a & -a-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

とおくと、 $u=v$ を得るので、固有ベクトルとして、例えば

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

がある。

\begin{aligned} A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

なので、 $n$ が奇数のときは

\begin{aligned} A^n = A = \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1+a & -a \end{pmatrix} \end{aligned}

であり、 $n$ が偶数のときは

\begin{aligned} A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

である。

\begin{aligned} \begin{pmatrix} A^{2n} & A^{2n+1} \\ A^{2n+1} & A^{2n} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a & 1-a & 1 & 0 \\ 1+a & -a & 0 & 1 \\ 1 & 0 & a & 1-a \\ 0 & 1 & 1+a & -a \end{pmatrix} &\left( = \begin{pmatrix} \boldsymbol{a} & \boldsymbol{b} & \boldsymbol{c} & \boldsymbol{d} \end{pmatrix} \text{ とおく } \right) \end{aligned}

$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ が1次独立であるのは明らかであり、

\begin{aligned} \boldsymbol{c} &= a \boldsymbol{a} + (1+a) \boldsymbol{b} ,\\ \boldsymbol{d} &= (1-a) \boldsymbol{a} - a \boldsymbol{b} \end{aligned}

であるから、求めるランクは $2$ である。