東北大学 工学研究科 機械系 2024年8月実施 数学A 2

Author

Miyake

Description

行列 が

により与えられる。ただし、 は定数である。 を正の整数とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) 行列 の固有値と固有ベクトルを求めよ。

(2) を求めよ。

(3) 次の 行列のランクを求めよ。

Kai

(1)

の固有値を とすると、

となる。

固有値 に属する固有ベクトルを求めるため

とおくと、 を得るので、固有ベクトルとして、例えば

がある。

固有値 に属する固有ベクトルを求めるため

とおくと、 を得るので、固有ベクトルとして、例えば

がある。

(2)

なので、 が奇数のときは

であり、 が偶数のときは

である。

(3)

が1次独立であるのは明らかであり、

であるから、求めるランクは である。