東北大学 工学研究科 機械系 2024年8月実施 数学A 1

标签：

• Tohoku-University
• Limit
• Improper-Integral
• Integration-by-Parts
• Constrained-Optimization

Author

Miyake

Description

以下の問いに答えよ。

(1) 次の極限値を求めよ。

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{2 \tan x}$$

(2) 次の積分を求めよ。

$$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}dx$$

(3) $x^2 + 2y^2 - 1 = 0$ のとき $x - 2y$ の極値を求めよ。

题目描述

回答下列问题。

1. 计算极限 $\lim_{x\to0}\frac{e^x-\cos x}{2\tan x}.$
2. 计算反常积分 $\int_0^\infty xe^{-2x}\,dx.$
3. 在约束 $x^2+2y^2-1=0$ 下，求函数 $x-2y$ 的极值。

考点

• 函数极限：用 Taylor 展开或洛必达法则处理 $0/0$ 型极限。
• 反常积分：用分部积分并验证无穷端收敛。
• 约束极值：使用 Lagrange 乘数法或椭圆参数化求最大、最小值。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{2 \tan x} &= \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x}{\frac{1}{\cos^2 x}} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \int_0^\infty x e^{-2x} \ dx &= - \frac{1}{2} \left[ x e^{-2x} \right]_0^\infty + \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{-2x} \ dx \\ &= - \frac{1}{4} \left[ e^{-2x} \right]_0^\infty \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}$$

(3)

$x^2+2y^2-1=0$ より

$$\begin{aligned} x = \cos \theta, \ \ y = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta \ \ \ \ ( 0 \leq \theta \lt 2 \pi ) \end{aligned}$$

と書けるので、$f=x-2y$ は

$$\begin{aligned} f &= x - 2y \\ &= \cos \theta - \sqrt{2} \sin \theta \\ &= \sqrt{3} \sin (\theta + \alpha) &( 0 \leq \alpha \lt 2 \pi ) \end{aligned}$$

と書ける。

よって、 $f=x-2y$ の極小値は $- \sqrt{3}$ で極大値は $\sqrt{3}$ である。