東北大学工学研究科機械系4専攻 2023年8月実施材料力学第1問

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

図1に示すように、外径 $3d$ および内径 $2d$ の中空丸軸 AB と直径 $d$ の中実丸軸 CD を考える。丸軸 AB の左端 A と丸軸 CD の右端 D はそれぞれ剛体壁に固定されている。丸軸 AB と丸軸 CD には、それぞれ固定端から距離 $L$ の位置 E にピン結合用の穴がある。初期状態では、丸軸 CD の穴は、丸軸 AB の穴を通した直線と $\beta$ の角度をなしている。丸軸 AB および丸軸 CD のせん断弾性係数は $G$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 丸軸 CD をねじり、両軸の穴の位置を一致させるために必要なねじりモーメント $M_E$ を求めよ。

(2) 次に、丸軸 AB の穴と丸軸 CD の穴にピン結合して固定する。その後、 $M_E$ を解放したときの丸軸 AB のピン結合位置のねじれ角 $\alpha$ を求めよ。ただし、ピンと穴の変形や摩擦は無視するものとする。

(3) このとき、丸軸 AB と丸軸 CD に生じる最大せん断応力 $\tau_1$ と $\tau_2$ をそれぞれ求めよ。

原題の図1

如图1，考虑外径 $3d$ 、内径 $2d$ 的空心圆轴 AB，以及直径 $d$ 的实心圆轴 CD。AB 的左端 A 和 CD 的右端 D 分别固定在刚性墙上。两根轴均在距各自固定端为 $L$ 的位置 E 处开有销接孔。初始状态下，CD 的孔与穿过 AB 孔的直线夹角为 $\beta$ 。两根轴的剪切模量均为 $G$ 。回答以下问题。

(1) 求扭转 CD 使两轴孔位置对齐所需的扭矩 $M_E$ 。

(2) 接着用销穿过两轴的孔将其连接固定，再撤去 $M_E$ 。求此时 AB 在销接位置处的扭转角 $\alpha$ 。忽略销和孔的变形及摩擦。

(3) 求此时 AB 和 CD 各自产生的最大剪应力 $\tau_1,\tau_2$ 。

極断面二次モーメントは

J_1=\frac{\pi}{32}\{(3d)^4-(2d)^4\}=\frac{65\pi d^4}{32},\qquad J_2=\frac{\pi d^4}{32}.

CD のねじれ角が $\beta$ になればよい。 $\beta=M_EL/(GJ_2)$ より

\boxed{M_E=\frac{G\pi d^4\beta}{32L}}.

外部トルクを除いた後、両軸の伝達トルクの大きさを $T$ とする。変形の適合条件は

\alpha=\frac{TL}{GJ_1},\qquad \beta-\alpha=\frac{TL}{GJ_2}.

よって $\beta-\alpha=65\alpha$ であるから

\boxed{\alpha=\frac{\beta}{66}},\qquad T=\frac{65G\pi d^4\beta}{2112L}.

$\tau=Tr/J$ より、各軸の外周で最大となる。

\boxed{\tau_1=\frac{T(3d/2)}{J_1}=\frac{G\beta d}{44L}},\qquad \boxed{\tau_2=\frac{T(d/2)}{J_2}=\frac{65G\beta d}{132L}}.