東北大学 工学研究科 機械系4専攻 2023年8月実施 材料力学 第1問

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• Tohoku-University
• Torsion
• Deformation-Compatibility

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

原問題（専門科目5ページ、PDF 14ページ）

中空丸軸 AB（外径 $3d$、内径 $2d$）と中実丸軸 CD（直径 $d$）を同軸に配置し、A と D を剛体壁に固定する。各固定端から距離 $L$ の断面 E にピン穴を設ける。無負荷時には、二つの穴の方向が角度 $\beta$ だけずれている。両軸の横弾性係数を $G$ とし、ピンと穴の変形および摩擦を無視する。

1. AB をねじらずに CD をねじって穴を一致させるのに必要なトルク $M_E$ を求める。
2. 穴を一致させてピンで固定し、外部トルク $M_E$ を除く。このとき AB の E 断面のねじれ角 $\alpha$ を求める。
3. 2 の状態で、AB と CD の最大せん断応力 $\tau_1,\tau_2$ を求める。

题目描述

两根同轴圆轴的远端 A、D 固定：AB 外径 $3d$、内径 $2d$，CD 为直径 $d$ 的实心轴。两轴距各自固定端 $L$ 的 E 截面设有销孔，无载时孔的方向相差 $\beta$。剪切模量均为 $G$，忽略销孔变形与摩擦。求扭转 CD 使孔对齐所需的扭矩；插销连接并撤去外加扭矩后，求 AB 的扭转角及两轴最大剪应力。

Kai

極断面二次モーメントは

$$J_1=\frac{\pi}{32}\{(3d)^4-(2d)^4\}=\frac{65\pi d^4}{32},\qquad J_2=\frac{\pi d^4}{32}.$$

(1)

CD のねじれ角が $\beta$ になればよい。$\beta=M_EL/(GJ_2)$ より

$$\boxed{M_E=\frac{G\pi d^4\beta}{32L}}.$$

(2)

外部トルクを除いた後、両軸の伝達トルクの大きさを $T$ とする。変形の適合条件は

$$\alpha=\frac{TL}{GJ_1},\qquad \beta-\alpha=\frac{TL}{GJ_2}.$$

よって $\beta-\alpha=65\alpha$ であるから

$$\boxed{\alpha=\frac{\beta}{66}},\qquad T=\frac{65G\pi d^4\beta}{2112L}.$$

(3)

$\tau=Tr/J$ より、各軸の外周で最大となる。

$$\boxed{\tau_1=\frac{T(3d/2)}{J_1}=\frac{G\beta d}{44L}},\qquad \boxed{\tau_2=\frac{T(d/2)}{J_2}=\frac{65G\beta d}{132L}}.$$