東北大学工学研究科機械系 2022年8月実施数学A 3

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$\boldsymbol A=(x+yz,\ x+x^2+y^2+zx,\ z+xy),\qquad V:\ 0\le z\le1-x^2,\ 0\le y\le1.$

$\nabla\times\boldsymbol A$ と $\nabla\cdot\boldsymbol A$ を計算する。
$V$ の全表面 $S$ を外向きに取り、 $\int_S\boldsymbol A\cdot\boldsymbol n\,dS$ を求める。
上面 $S':z=1-x^2$ の境界 $C$ に沿う $\oint_C\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol r$ を求める。 $C$ の向きは $S'$ の上向き法線に対応する向きとする。

给定向量场和区域

$\boldsymbol A=(x+yz,\ x+x^2+y^2+zx,\ z+xy),\qquad V:\ 0\le z\le1-x^2,\ 0\le y\le1.$

求 $\nabla\times\boldsymbol A$ 与 $\nabla\cdot\boldsymbol A$ 。
取 $V$ 的整个边界 $S$ 的外法向，求通量 $\int_S\boldsymbol A\cdot\boldsymbol n\,dS$ 。
上表面 $S':z=1-x^2$ 的边界记为 $C$ 。按与 $S'$ 向上法向对应的正向，求环流 $\oint_C\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol r$ 。

\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A} &= (1+2x) \boldsymbol{k} ,\\ \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A} &= 2y+2 \end{aligned}

ガウスの発散定理より、

\begin{aligned} \int_S \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{n} dS &= \int_V \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A} dV \\ &= \int_{-1}^1 dx \int_0^{1-x^2} dz \int_0^1 dy \ (2y+2) \\ &= \int_{-1}^1 dx \left( 1-x^2 \right) \left[ y^2 + 2y \right]_{y=0}^{y=1} \\ &= 6 \int_0^1 dx \left( 1-x^2 \right) \\ &= 6 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=0}^{x=1} \\ &= 4 \end{aligned}

である。

表面を $\boldsymbol r=(x,y,1-x^2)$ と置くと、上向きの面素ベクトルは

$\boldsymbol r_x\times\boldsymbol r_y=(2x,0,1).$

Stokes の定理より

\begin{aligned} \oint_{\partial S'}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol r &=\iint_{S'}(\nabla\times\boldsymbol A)\cdot\boldsymbol n\,dS\\ &=\int_{-1}^1\int_0^1(0,0,1+2x)\cdot(2x,0,1)\,dy\,dx\\ &=\int_{-1}^1(1+2x)\,dx=\boxed{2}. \end{aligned}

原解の $8/3$ は $\boldsymbol A$ 自身の上面を通る通量であり、設問の線積分ではない。また、旋度には $A_y$ 中の $x$ を微分した定数項 $1$ が必要である。