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東北大学 工学研究科 機械系 2022年8月実施 数学A 3

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Author​

Miyake

Description​

Kai​

(1)​

∇×A=2xk,∇⋅A=2y+2\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A} &= 2x \boldsymbol{k} ,\\ \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A} &= 2y+2 \end{aligned}

(2)​

ガウスの発散定理より、

∫SA⋅ndS=∫V∇⋅AdV=∫−11dx∫01−x2dz∫01dy (2y+2)=∫−11dx(1−x2)[y2+2y]y=0y=1=6∫01dx(1−x2)=6[x−x33]x=0x=1=4\begin{aligned} \int_S \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{n} dS &= \int_V \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A} dV \\ &= \int_{-1}^1 dx \int_0^{1-x^2} dz \int_0^1 dy \ (2y+2) \\ &= \int_{-1}^1 dx \left( 1-x^2 \right) \left[ y^2 + 2y \right]_{y=0}^{y=1} \\ &= 6 \int_0^1 dx \left( 1-x^2 \right) \\ &= 6 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=0}^{x=1} \\ &= 4 \end{aligned}

である。

(3)​

S′S' 上の位置ベクトル r\boldsymbol{r} は

r=xi+yj+(1−x2)k    (−1≤x≤1, 0≤y≤1)\begin{aligned} \boldsymbol{r} = x \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j} + \left( 1 - x^2 \right) \boldsymbol{k} \ \ \ \ \left( -1 \leq x \leq 1, \ 0 \leq y \leq 1 \right) \end{aligned}

と表せるので、 S′S' 上で

∂r∂x=i−2xk,∂r∂y=j,∂r∂x×∂r∂y=2xi+k,A⋅(∂r∂x×∂r∂y)=2x2+2xyz+z+xy=−2x3y+x2+3xy+1\begin{aligned} \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} &= \boldsymbol{i} - 2x \boldsymbol{k} ,\\ \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y} &= \boldsymbol{j} ,\\ \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y} &= 2x \boldsymbol{i} + \boldsymbol{k} ,\\ \boldsymbol{A} \cdot \left( \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y} \right) &= 2x^2 + 2xyz + z + xy \\ &= -2x^3y + x^2 + 3xy + 1 \end{aligned}

である。 よって、ストークスの定理より、

∫∂S′A⋅dr=∫−11dx∫01dy(−2x3y+x2+3xy+1)=2∫01dx∫01dy(x2+1)=2∫01dx(x2+1)=2[x33+x]01=83\begin{aligned} \int_{\partial S'} \boldsymbol{A} \cdot d \boldsymbol{r} &= \int_{-1}^1 dx \int_0^1 dy \left( -2x^3y + x^2 + 3xy + 1 \right) \\ &= 2 \int_0^1 dx \int_0^1 dy \left( x^2 + 1 \right) \\ &= 2 \int_0^1 dx \left( x^2 + 1 \right) \\ &= 2 \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^1 \\ &= \frac{8}{3} \end{aligned}

である。

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