跳到主要内容

東北大学 工学研究科 機械系 2022年8月実施 数学A 3

标签：

Author​

Miyake

Description​

デカルト座標系 (x,y,z)(x,y,z) において，ベクトル場 A\boldsymbol A が

A=(x+yz)i+(x+x2+y2+xz)j+(z+xy)k\boldsymbol A=(x+yz)\boldsymbol i+(x+x^2+y^2+xz)\boldsymbol j+(z+xy)\boldsymbol k

により与えられる．ただし，x,y,zx,y,z 方向の基本ベクトルをそれぞれ i,j,k\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k とする．また，領域 VV が

V:0≤z≤1−x2,0≤y≤1V:\quad 0\le z\le 1-x^2,\quad 0\le y\le1

により与えられる．以下の問いに答えよ．

(1) ∇×A\nabla\times\boldsymbol A および ∇⋅A\nabla\cdot\boldsymbol A を求めよ．

(2) VV の表面を SS とするとき，次の面積分を求めよ．ただし，n\boldsymbol n は SS の外向き単位法線ベクトルである．

∫SA⋅n dS\int_S\boldsymbol A\cdot\boldsymbol n\,dS

(3) VV の表面の一部 S′S' が

S′:z=1−x2,0≤y≤1,z≥0S':\quad z=1-x^2,\quad0\le y\le1,\quad z\ge0

により与えられる．次の線積分を求めよ．ただし，∂S′\partial S' は S′S' の境界，r\boldsymbol r は ∂S′\partial S' の位置ベクトルであり，線積分の向きは +z+z 方向に進む右ねじの回転方向とする．

∫∂S′A⋅dr\int_{\partial S'}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol r

题目描述​

在笛卡尔坐标系 (x,y,z)(x,y,z) 中，向量场为

A=(x+yz)i+(x+x2+y2+xz)j+(z+xy)k,\boldsymbol A=(x+yz)\boldsymbol i+(x+x^2+y^2+xz)\boldsymbol j+(z+xy)\boldsymbol k,

其中 i,j,k\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k 分别为 x,y,zx,y,z 方向的基向量。区域 VV 由

V:0≤z≤1−x2,0≤y≤1V:\quad0\le z\le1-x^2,\quad0\le y\le1

给出。回答下列问题。

(1) 求 ∇×A\nabla\times\boldsymbol A 和 ∇⋅A\nabla\cdot\boldsymbol A。

(2) 将 VV 的表面记作 SS，求面积分

∫SA⋅n dS,\int_S\boldsymbol A\cdot\boldsymbol n\,dS,

其中 n\boldsymbol n 为 SS 的外向单位法向量。

(3) VV 的部分表面 S′S' 由

S′:z=1−x2,0≤y≤1,z≥0S':\quad z=1-x^2,\quad0\le y\le1,\quad z\ge0

给出。求线积分

∫∂S′A⋅dr.\int_{\partial S'}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol r.

其中 ∂S′\partial S' 是 S′S' 的边界，r\boldsymbol r 是 ∂S′\partial S' 的位置向量；积分方向为向 +z+z 方向前进的右旋螺钉的旋转方向。

Kai​

(1)​

∇×A=(1+2x)k,∇⋅A=2y+2\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A} &= (1+2x) \boldsymbol{k} ,\\ \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A} &= 2y+2 \end{aligned}

(2)​

ガウスの発散定理より、

∫SA⋅ndS=∫V∇⋅AdV=∫−11dx∫01−x2dz∫01dy (2y+2)=∫−11dx(1−x2)[y2+2y]y=0y=1=6∫01dx(1−x2)=6[x−x33]x=0x=1=4\begin{aligned} \int_S \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{n} dS &= \int_V \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A} dV \\ &= \int_{-1}^1 dx \int_0^{1-x^2} dz \int_0^1 dy \ (2y+2) \\ &= \int_{-1}^1 dx \left( 1-x^2 \right) \left[ y^2 + 2y \right]_{y=0}^{y=1} \\ &= 6 \int_0^1 dx \left( 1-x^2 \right) \\ &= 6 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=0}^{x=1} \\ &= 4 \end{aligned}

である。

(3)​

表面を r=(x,y,1−x2)\boldsymbol r=(x,y,1-x^2) と置くと、上向きの面素ベクトルは

rx×ry=(2x,0,1).\boldsymbol r_x\times\boldsymbol r_y=(2x,0,1).

Stokes の定理より

∮∂S′A⋅dr=∬S′(∇×A)⋅n dS=∫−11∫01(0,0,1+2x)⋅(2x,0,1) dy dx=∫−11(1+2x) dx=2.\begin{aligned} \oint_{\partial S'}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol r &=\iint_{S'}(\nabla\times\boldsymbol A)\cdot\boldsymbol n\,dS\\ &=\int_{-1}^1\int_0^1(0,0,1+2x)\cdot(2x,0,1)\,dy\,dx\\ &=\int_{-1}^1(1+2x)\,dx=\boxed{2}. \end{aligned}

原解の 8/38/3 は A\boldsymbol A 自身の上面を通る通量であり、設問の線積分ではない。また、旋度には AyA_y 中の xx を微分した定数項 11 が必要である。

Reference​

本页目录