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東北大学 工学研究科 機械系 2022年8月実施 数学A 2

标签：

Author​

Miyake

Description​

题目描述​

原文的题目描述及解答均缺失，当前文件无法还原具体题目。

考点​

  • 资料缺失：现有文件未保留可用于判断本题知识点的题干、公式或解答。

Kai​

(1)​

BB の固有値を bb とすると、

0=det⁡(−b101−b101−b)=−b3+2b=−b(b2−2)∴  b=0,±2\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -b & 1 & 0 \\ 1 & -b & 1 \\ 0 & 1 & -b \end{pmatrix} \\ &= -b^3 + 2b \\ &= -b (b^2 - 2) \\ \therefore \ \ b &= 0, \pm \sqrt{2} \end{aligned}

である。

CC の固有値を cc とすると、

0=det⁡(−c111−c111−c)=−c3+2+3c=−(c+1)2(c−2)∴  c=−1,2\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -c & 1 & 1 \\ 1 & -c & 1 \\ 1 & 1 & -c \end{pmatrix} \\ &= -c^3 + 2 + 3c \\ &= - (c+1)^2(c-2) \\ \therefore \ \ c &= -1, 2 \end{aligned}

である。

(2)​

CC は実対称行列なので、適当な直交行列 PP とその逆行列 P−1P^{-1} を使って、

C=PC~P−1,    C~=(−1000−10002)\begin{aligned} C = P \tilde{C} P^{-1} , \ \ \ \ \tilde{C} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

と書ける。

行列の対角成分の和を tr\mathrm{tr} と書くと、

tr(C3)=tr(PC~3P−1)=tr(C~3)=tr(−1000−10008)=6\begin{aligned} \mathrm{tr} \left( C^3 \right) &= \mathrm{tr} \left( P \tilde{C}^3 P^{-1} \right) \\ &= \mathrm{tr} \left( \tilde{C}^3 \right) \\ &= \mathrm{tr} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \\ &= 6 \end{aligned}

である。

(3)​

D=(011111101111110111111011111101111110)\begin{aligned} D &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}

であり、 DD の固有値を dd とすると、

0=det⁡(−d111111−d111111−d111111−d111111−d111111−d)=det⁡(01−d21+d1+d1+d1+d1−d111101+d−d−100001+d0−d−10001+d00−d−1001+d000−d−1)=−det⁡(1−d21+d1+d1+d1+d1+d−d−10001+d0−d−1001+d00−d−101+d000−d−1)=−(d+1)5det⁡(1−d11111−100010−100100−101000−1)=−(d+1)5(det⁡(1−10010−10100−11000)−det⁡(1−d1111−10010−10100−1))=−(d+1)5(−det⁡(−1000−1000−1)+det⁡(1−1010−1100)+det⁡(1−d111−1010−1))=−(d+1)5(1+1+(1−d)+2)=(d+1)5(d−5)∴  d=−1,5\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -d & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -d & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -d & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -d & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -d & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -d \end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} 0 & 1-d^2 & 1+d & 1+d & 1+d & 1+d \\ 1 & -d & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1+d & -d-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1+d & 0 & -d-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1+d & 0 & 0 & -d-1 & 0 \\ 0 & 1+d & 0 & 0 & 0 & -d-1 \end{pmatrix} \\ &= - \det \begin{pmatrix} 1-d^2 & 1+d & 1+d & 1+d & 1+d \\ 1+d & -d-1 & 0 & 0 & 0 \\ 1+d & 0 & -d-1 & 0 & 0 \\ 1+d & 0 & 0 & -d-1 & 0 \\ 1+d & 0 & 0 & 0 & -d-1 \end{pmatrix} \\ &= - (d+1)^5 \det \begin{pmatrix} 1-d & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\ &= - (d+1)^5 \left( \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \det \begin{pmatrix} 1-d & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \right) \\ &= - (d+1)^5 \left( - \det \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1-d & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \right) \\ &= -(d+1)^5 \left( 1 + 1 + (1-d) + 2 \right) \\ &= (d+1)^5 (d-5) \\ \therefore \ \ d &= -1, 5 \end{aligned}

である。 そこで、

D~=(−1000000−1000000−1000000−1000000−10000005)\begin{aligned} \tilde{D} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \end{aligned}

とおいて、 (2) と同様に考えると、

tr(D3)=tr(D~3)=tr(−1000000−1000000−1000000−1000000−1000000125)=120\begin{aligned} \mathrm{tr} \left( D^3 \right) &= \mathrm{tr} \left( \tilde{D}^3 \right) \\ &= \mathrm{tr} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 125 \end{pmatrix} \\ &= 120 \end{aligned}

がわかる。

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