東北大学 工学研究科 機械系 2022年8月実施 数学A 2

标签：

• Tohoku-University
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Matrix-Trace
• Matrix-Power
• Adjacency-Spectrum-of-Path-and-Complete-Graphs

Author

Miyake

Description

原題に基づく要約（日本語）

公式原題

図の頂点間の接続を隣接行列で表す。3頂点の道と3頂点の完全グラフに対応する行列を

$B=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$

とする。

1. $B,C$ の固有値を求める。
2. $\operatorname{tr}(C^3)$ を求める。
3. 原図3は6頂点すべての組を結んだ完全グラフであり、隣接行列 $D$ は対角成分が0、他の成分が1の $6\times6$ 行列である。$D$ の固有値と $\operatorname{tr}(D^3)$ を求める。

题目描述

用邻接矩阵表示图中顶点的连接。三顶点路径图和三顶点完全图的邻接矩阵分别为

$B=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}.$

1. 求 $B,C$ 的全部特征值。
2. 计算 $\operatorname{tr}(C^3)$。
3. 六顶点完全图的邻接矩阵 $D$ 是对角元为 0、其余元素为 1 的 $6\times6$ 矩阵。求 $D$ 的特征值和 $\operatorname{tr}(D^3)$。

Kai

(1)

$B$ の固有値を $b$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -b & 1 & 0 \\ 1 & -b & 1 \\ 0 & 1 & -b \end{pmatrix} \\ &= -b^3 + 2b \\ &= -b (b^2 - 2) \\ \therefore \ \ b &= 0, \pm \sqrt{2} \end{aligned}$$

である。

$C$ の固有値を $c$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -c & 1 & 1 \\ 1 & -c & 1 \\ 1 & 1 & -c \end{pmatrix} \\ &= -c^3 + 2 + 3c \\ &= - (c+1)^2(c-2) \\ \therefore \ \ c &= -1, 2 \end{aligned}$$

である。

(2)

$C$ は実対称行列なので、適当な直交行列 $P$ とその逆行列 $P^{-1}$ を使って、

$$\begin{aligned} C = P \tilde{C} P^{-1} , \ \ \ \ \tilde{C} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

と書ける。

行列の対角成分の和を $\mathrm{tr}$ と書くと、

$$\begin{aligned} \mathrm{tr} \left( C^3 \right) &= \mathrm{tr} \left( P \tilde{C}^3 P^{-1} \right) \\ &= \mathrm{tr} \left( \tilde{C}^3 \right) \\ &= \mathrm{tr} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \\ &= 6 \end{aligned}$$

である。

(3)

$$\begin{aligned} D &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であり、 $D$ の固有値を $d$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -d & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -d & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -d & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -d & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -d & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -d \end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} 0 & 1-d^2 & 1+d & 1+d & 1+d & 1+d \\ 1 & -d & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1+d & -d-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1+d & 0 & -d-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1+d & 0 & 0 & -d-1 & 0 \\ 0 & 1+d & 0 & 0 & 0 & -d-1 \end{pmatrix} \\ &= - \det \begin{pmatrix} 1-d^2 & 1+d & 1+d & 1+d & 1+d \\ 1+d & -d-1 & 0 & 0 & 0 \\ 1+d & 0 & -d-1 & 0 & 0 \\ 1+d & 0 & 0 & -d-1 & 0 \\ 1+d & 0 & 0 & 0 & -d-1 \end{pmatrix} \\ &= - (d+1)^5 \det \begin{pmatrix} 1-d & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\ &= - (d+1)^5 \left( \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \det \begin{pmatrix} 1-d & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \right) \\ &= - (d+1)^5 \left( - \det \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1-d & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \right) \\ &= -(d+1)^5 \left( 1 + 1 + (1-d) + 2 \right) \\ &= (d+1)^5 (d-5) \\ \therefore \ \ d &= -1, 5 \end{aligned}$$

である。 そこで、

$$\begin{aligned} \tilde{D} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおいて、 (2) と同様に考えると、

$$\begin{aligned} \mathrm{tr} \left( D^3 \right) &= \mathrm{tr} \left( \tilde{D}^3 \right) \\ &= \mathrm{tr} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 125 \end{pmatrix} \\ &= 120 \end{aligned}$$

がわかる。

Reference

• 東北大学 機械系 2022年度実施試験（数学A）