東北大学 工学研究科 機械系 2022年8月実施 数学A 2

标签：

• 东北大学
• 特征值与特征向量
• 矩阵迹
• 矩阵幂
• 邻接谱

Author

Miyake

Description

$n$ 個の点 $P_1,P_2,\ldots,P_n$ が与えられており，そのいくつかが線分で結ばれている場合を考える．これに対応する $n\times n$ 行列の成分 $a_{ij}$ を

$$a_{ij}=\begin{cases} 0&i=j\\ 1&i\ne j\text{ で }P_i\text{ と }P_j\text{ が結ばれている場合}\\ 0&i\ne j\text{ で }P_i\text{ と }P_j\text{ が結ばれていない場合} \end{cases}$$

により決める．たとえば，図1，図2の場合，対応する行列 $B,C$ がそれぞれ

$$B=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$$

のように決まる．以下の問いに答えよ．

(1) $B$ および $C$ の固有値を求めよ．

(2) $C^3$ の対角成分の和を求めよ．

(3) 図3に対応する行列 $D$ について $D^3$ の対角成分の和を求めよ．

题目描述

给定 $n$ 个点 $P_1,P_2,\ldots,P_n$，其中某些点之间用线段连接。与之对应的 $n\times n$ 矩阵元素定义为

$$a_{ij}=\begin{cases} 0&i=j\\ 1&i\ne j\text{ 且 }P_i\text{ 与 }P_j\text{ 相连}\\ 0&i\ne j\text{ 且 }P_i\text{ 与 }P_j\text{ 不相连}. \end{cases}$$

例如，上方图1、图2对应的矩阵分别为

$$B=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}.$$

回答下列问题。

(1) 求 $B$ 和 $C$ 的特征值。

(2) 求 $C^3$ 的对角元素之和。

(3) 对于上方图3对应的矩阵 $D$，求 $D^3$ 的对角元素之和。

Kai

(1)

$B$ の固有値を $b$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -b & 1 & 0 \\ 1 & -b & 1 \\ 0 & 1 & -b \end{pmatrix} \\ &= -b^3 + 2b \\ &= -b (b^2 - 2) \\ \therefore \ \ b &= 0, \pm \sqrt{2} \end{aligned}$$

である。

$C$ の固有値を $c$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -c & 1 & 1 \\ 1 & -c & 1 \\ 1 & 1 & -c \end{pmatrix} \\ &= -c^3 + 2 + 3c \\ &= - (c+1)^2(c-2) \\ \therefore \ \ c &= -1, 2 \end{aligned}$$

である。

(2)

$C$ は実対称行列なので、適当な直交行列 $P$ とその逆行列 $P^{-1}$ を使って、

$$\begin{aligned} C = P \tilde{C} P^{-1} , \ \ \ \ \tilde{C} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

と書ける。

行列の対角成分の和を $\mathrm{tr}$ と書くと、

$$\begin{aligned} \mathrm{tr} \left( C^3 \right) &= \mathrm{tr} \left( P \tilde{C}^3 P^{-1} \right) \\ &= \mathrm{tr} \left( \tilde{C}^3 \right) \\ &= \mathrm{tr} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \\ &= 6 \end{aligned}$$

である。

(3)

$$\begin{aligned} D &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であり、 $D$ の固有値を $d$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -d & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -d & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -d & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -d & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -d & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -d \end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} 0 & 1-d^2 & 1+d & 1+d & 1+d & 1+d \\ 1 & -d & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1+d & -d-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1+d & 0 & -d-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1+d & 0 & 0 & -d-1 & 0 \\ 0 & 1+d & 0 & 0 & 0 & -d-1 \end{pmatrix} \\ &= - \det \begin{pmatrix} 1-d^2 & 1+d & 1+d & 1+d & 1+d \\ 1+d & -d-1 & 0 & 0 & 0 \\ 1+d & 0 & -d-1 & 0 & 0 \\ 1+d & 0 & 0 & -d-1 & 0 \\ 1+d & 0 & 0 & 0 & -d-1 \end{pmatrix} \\ &= - (d+1)^5 \det \begin{pmatrix} 1-d & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\ &= - (d+1)^5 \left( \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\right. \\ &\qquad\left. - \det \begin{pmatrix} 1-d & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \right) \\ &= - (d+1)^5 \left( - \det \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\right. \\ &\qquad\left. + \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\right. \\ &\qquad\left. + \det \begin{pmatrix} 1-d & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \right) \\ &= -(d+1)^5 \left( 1 + 1 + (1-d) + 2 \right) \\ &= (d+1)^5 (d-5) \\ \therefore \ \ d &= -1, 5 \end{aligned}$$

である。 そこで、

$$\begin{aligned} \tilde{D} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおいて、 (2) と同様に考えると、

$$\begin{aligned} \mathrm{tr} \left( D^3 \right) &= \mathrm{tr} \left( \tilde{D}^3 \right) \\ &= \mathrm{tr} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 125 \end{pmatrix} \\ &= 120 \end{aligned}$$

がわかる。

Reference

• 東北大学 機械系 2022年度実施試験（数学A）