東北大学 工学研究科 機械系 2022年8月実施 数学A 1

标签：

• Tohoku-University
• Integration-by-Substitution
• Limit
• Double-Integral
• Polar-Coordinates

Author

Miyake

Description

以下の問いに答えよ。

(1) 次の積分を求めよ。

$$\int \frac{1}{\cosh x + 1}\ dx$$

(2) 次の極限値を求めよ。

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x - \log_e (1+x)}{x \sin x}$$

(3) 次の積分を求めよ。

$$\iint_D \sqrt{\frac{1 - x^2 - y^2}{1 + x^2 + y^2}}\ dxdy$$

ただし領域 $D$ は

$$D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \le 1\}$$

により与えられる。

题目描述

回答下列问题。

1. 计算不定积分 $\int\frac{1}{\cosh x+1}\,dx.$
2. 计算极限 $\lim_{x\to0}\frac{x\cos x-\log_e(1+x)}{x\sin x}.$
3. 设 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\},$ 计算二重积分 $\iint_D\sqrt{\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}}\,dx\,dy.$

考点

• 双曲函数积分：利用 $\cosh x$ 的恒等式或指数换元化简被积函数。
• 极限与 Taylor 展开：比较分子、分母的最低阶非零项。
• 极坐标变换：利用圆盘区域和径向对称性将二重积分化为一重积分。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{\cosh x + 1} dx &= \int \frac{2}{e^x + e^{-x} + 2} dx \\ &= \int \frac{2}{t + \frac{1}{t} + 2} \frac{dt}{t} \ \ \ \ \ \ \ \ \left( t = e^x \right) \\ &= 2 \int \frac{dt}{(t+1)^2} \\ &= - \frac{2}{t+1} + C \ \ \ \ \ \ \ \ \left( C \text{ は積分定数 } \right) \\ &= - \frac{2}{e^x+1} + C \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{x \cos x - \log_e (1+x)}{x \sin x} &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - x \sin x - \frac{1}{1+x}}{\sin x + x \cos x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{- \sin x - \sin x - x \cos x + \frac{1}{(1+x)^2}} {\cos x + \cos x - x \sin x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin x - x \cos x + \frac{1}{(1+x)^2}} {2 \cos x - x \sin x} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

(3)

$x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$ によって極座標 $r,\theta$ を導入して、次のように計算できる：

$$\begin{aligned} \iint_D \sqrt{\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}} dx dy &= \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^1 dr r \sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}} \\ &= 2 \pi \int_1^0 \frac{-2t dt}{(1+t^2)^2} \cdot t \ \ \ \ \ \ \ \ \left( t = \sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}} \right) \\ &= 4 \pi \int_0^1 \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt \\ &= 4 \pi \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{\tan^2 \theta}{(1+\tan^2 \theta)^2} \frac{d \theta}{\cos^2 \theta} \ \ \ \ \ \ \ \ \left( t = \tan \theta \right) \\ &= 4 \pi \int_0^\frac{\pi}{4} \sin^2 \theta d \theta \\ &= 2 \pi \int_0^\frac{\pi}{4} \left( 1 - \cos 2 \theta \right) d \theta \\ &= 2 \pi \left[ \theta - \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right]_0^\frac{\pi}{4} \\ &= 2 \pi \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{\pi (\pi - 2)}{2} \end{aligned}$$