東北大学工学研究科機械・知能系 2017年8月実施熱力学第2問

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

定常流動系において $1\,\mathrm{kg}$ の理想気体が状態1から状態2に変化する準静的過程を考える。運動エネルギーとポテンシャルエネルギーは無視できるものとする。状態1におけるこの気体の圧力，比体積，温度，比内部エネルギー，比エンタルピーをそれぞれ $p_1,v_1,T_1,u_1,h_1$ とし，状態2におけるこれらの状態量をそれぞれ $p_2,v_2,T_2,u_2,h_2$ とする。また，気体定数を $R$ とする。 $p_1>p_2$ および $v_1<v_2$ であるとき，以下の問いに答えよ。

(1) $h_1$ を $u_1,p_1$ および $v_1$ で表せ。

(2) この過程において気体に加えられた熱量が $q_{12}$ であるとき，絶対仕事および工業仕事（定常流動系における仕事）を求めよ。また，これらに相当する領域を圧力–比体積 $(p-v)$ 線図上に示せ。

(3) この過程が等温過程であるとき，絶対仕事と工業仕事の大きさが等しいことを示せ。

(4) この過程が断熱過程であるとき，絶対仕事と工業仕事のどちらが大きいかを示せ。また，その理由を流動仕事の概念を用いて説明せよ。

考虑在稳态流动系统中， $1\,\mathrm{kg}$ 理想气体从状态1变为状态2的准静态过程。忽略动能和势能。状态1时气体的压力、比体积、温度、比内能和比焓分别为 $p_1,v_1,T_1,u_1,h_1$ ，状态2时这些状态量分别为 $p_2,v_2,T_2,u_2,h_2$ 。气体常数为 $R$ 。当 $p_1>p_2$ 且 $v_1<v_2$ 时，回答下列问题。

(1) 用 $u_1,p_1,v_1$ 表示 $h_1$ 。

(2) 若在该过程中向气体加入的热量为 $q_{12}$ ，求绝对功和技术功（稳态流动系统中的功），并在压力–比体积 $(p-v)$ 图上表示与两者对应的区域。

(3) 当该过程为等温过程时，证明绝对功与技术功的大小相等。

(4) 当该过程为绝热过程时，判断绝对功和技术功哪一个较大，并利用流动功的概念说明理由。

エンタルピーの定義より $\boxed{h_1=u_1+p_1v_1}$ 。気体が外部にする仕事を正に取る。閉じた系および定常流動系の第一法則から

\boxed{w_{12}=q_{12}-(u_2-u_1)=\int_{v_1}^{v_2}p\,dv},

\boxed{w_{t12}=q_{12}-(h_2-h_1)=-\int_{p_1}^{p_2}v\,dp}.

前者は曲線と $v$ 軸の間を $v_1$ から $v_2$ まで取った面積、後者は曲線と $p$ 軸の間を $p_2$ から $p_1$ まで取った面積である。

絶対仕事と工業仕事に対応する面積

両式の差を取れば

\boxed{w_{t12}-w_{12}=p_1v_1-p_2v_2=R(T_1-T_2)}.

等温なら $p_1v_1=p_2v_2=RT_1$ 。従って

\boxed{w_{12}=w_{t12}=RT_1\log\frac{v_2}{v_1}=RT_1\log\frac{p_1}{p_2}}.

断熱膨張では $q_{12}=0$ 、 $w_{12}>0$ だから $u_1>u_2$ 。理想気体で $c_v(T)>0$ より $T_1>T_2$ 、従って

\boxed{w_{t12}-w_{12}=R(T_1-T_2)>0}.

入口で上流流体から受け取る流動仕事は $p_1v_1$ 、出口で下流流体へ渡す流動仕事は $p_2v_2$ 。この正味流動仕事が正となるため、取り出せる工業仕事の方が大きい。

比熱を一定とする場合にはさらに $w_{12}=c_v(T_1-T_2)$ 、 $w_{t12}=c_p(T_1-T_2)$ なので $w_{t12}=(c_p/c_v)w_{12}$ 。比熱が温度に依存しても上記の大小関係は変わらない。