東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年秋季 熱力学 第2問

标签：

• 东北大学
• 稳定流动能量方程

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

2017年10月・2018年4月入学対象、2017年8月実施。

定常流動系で 1 kg の理想気体が状態1から状態2へ準静的に変化する。運動・位置エネルギーを無視し、状態量を $p_i,v_i,T_i,u_i,h_i$（$i=1,2$）、気体定数を $R$ とする。$p_1>p_2,v_1<v_2$ である。

1. $h_1$ を $u_1,p_1,v_1$ で表せ。
2. 気体に加えた熱を $q_{12}$ とするとき、絶対仕事と工業仕事を求め、対応する領域を $p$–$v$ 線図に示せ。
3. 等温過程で両仕事の大きさが等しいことを示せ。
4. 断熱過程ではどちらの仕事が大きいか。流動仕事の概念を用いて理由を説明せよ。

题目描述

本题为2017年8月实施、面向2017年10月及2018年4月入学的考试。

1 kg 理想气体在稳态流动系统中由状态1准静态变化至状态2，忽略动能、势能，气体常数为 $R$，且 $p_1>p_2,v_1<v_2$。（1）用 $u_1,p_1,v_1$ 表示焓。（2）吸热量为 $q_{12}$，求绝对功和工业功，并在 $p$–$v$ 图中画出相应面积。（3）证明等温时两种功相等。（4）判断绝热时哪种功较大，并从流动功角度说明。

Kai

(1), (2)

エンタルピーの定義より $\boxed{h_1=u_1+p_1v_1}$。気体が外部にする仕事を正に取る。閉じた系および定常流動系の第一法則から

$$\boxed{w_{12}=q_{12}-(u_2-u_1)=\int_{v_1}^{v_2}p\,dv},$$

$$\boxed{w_{t12}=q_{12}-(h_2-h_1)=-\int_{p_1}^{p_2}v\,dp}.$$

前者は曲線と $v$ 軸の間を $v_1$ から $v_2$ まで取った面積、後者は曲線と $p$ 軸の間を $p_2$ から $p_1$ まで取った面積である。

両式の差を取れば

$$\boxed{w_{t12}-w_{12}=p_1v_1-p_2v_2=R(T_1-T_2)}.$$

(3)

等温なら $p_1v_1=p_2v_2=RT_1$。従って

$$\boxed{w_{12}=w_{t12}=RT_1\log\frac{v_2}{v_1}=RT_1\log\frac{p_1}{p_2}}.$$

(4)

断熱膨張では $q_{12}=0$、$w_{12}>0$ だから $u_1>u_2$。理想気体で $c_v(T)>0$ より $T_1>T_2$、従って

$$\boxed{w_{t12}-w_{12}=R(T_1-T_2)>0}.$$

入口で上流流体から受け取る流動仕事は $p_1v_1$、出口で下流流体へ渡す流動仕事は $p_2v_2$。この正味流動仕事が正となるため、取り出せる工業仕事の方が大きい。

比熱を一定とする場合にはさらに $w_{12}=c_v(T_1-T_2)$、$w_{t12}=c_p(T_1-T_2)$ なので $w_{t12}=(c_p/c_v)w_{12}$。比熱が温度に依存しても上記の大小関係は変わらない。

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 12ページ