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東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年8月実施 量子力学 第1問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

  1. ある平面内において，座標原点から一定距離 rr 離れている円周上を自由に運動する質量 mm，エネルギー EE の粒子の波動関数 φ(r,θ)\varphi(r,\theta) を考える。二次元極座標のラプラシアンは
1r∂∂r(r∂∂r)+1r2∂2∂θ2\frac1r\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right) +\frac1{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}

で与えられる。以下の問いに答えよ。

(1) この粒子に対する時間に依存しない二次元シュレーディンガー方程式を極座標 (r,θ)(r,\theta) を用いて示せ。

(2) φ(r,θ)\varphi(r,\theta) が満たすべき周期的境界条件を示せ。

(3) 規格化された波動関数 φ(r,θ)\varphi(r,\theta) を求めよ。

(4) この粒子のエネルギー EE を求めよ。

(5) ある与えられた角運動量に対して，この粒子の位置は正確に特定することができないことを示せ。

题目描述​

  1. 考虑质量为 mm、能量为 EE 的粒子的波函数 φ(r,θ)\varphi(r,\theta)。该粒子在某平面内，沿距坐标原点恒定距离 rr 的圆周自由运动。二维极坐标中的拉普拉斯算符为
1r∂∂r(r∂∂r)+1r2∂2∂θ2.\frac1r\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right) +\frac1{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}.

回答下列问题。

(1) 用极坐标 (r,θ)(r,\theta) 写出该粒子的二维定态薛定谔方程。

(2) 写出 φ(r,θ)\varphi(r,\theta) 必须满足的周期性边界条件。

(3) 求归一化波函数 φ(r,θ)\varphi(r,\theta)。

(4) 求粒子的能量 EE。

(5) 证明当角动量取某个给定值时，不能精确确定该粒子的位置。

Kai​

(1)​

自由粒子の平面内の方程式は

−ℏ22m[1r∂∂r(r∂φ∂r)+1r2∂2φ∂θ2]=Eφ.-\frac{\hbar^2}{2m}\left[\frac1r\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial\varphi}{\partial r}\right)+\frac1{r^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial\theta^2}\right]=E\varphi.

半径が固定された円周上の運動では座標は θ\theta のみとなり、運動エネルギー演算子は角方向の項だから

−ℏ22mr2d2φdθ2=Eφ.\boxed{-\frac{\hbar^2}{2mr^2}\frac{d^2\varphi}{d\theta^2}=E\varphi}.

(2)​

同一点で波動関数とその導関数が一価となる周期境界条件

φ(θ+2π)=φ(θ),φ′(θ+2π)=φ′(θ)\boxed{\varphi(\theta+2\pi)=\varphi(\theta),\qquad\varphi'(\theta+2\pi)=\varphi'(\theta)}

を満たす。

(3)​

eiνθe^{i\nu\theta} を代入し、周期条件を課すと e2πiν=1e^{2\pi i\nu}=1、すなわち ν=n∈Z\nu=n\in\mathbb Z。弧長測度 r dθr\,d\theta で規格化すれば

∫02π∣φn∣2r dθ=1,φn(θ)=einθ2πr,n∈Z.\int_0^{2\pi}|\varphi_n|^2r\,d\theta=1,\qquad \boxed{\varphi_n(\theta)=\frac{e^{in\theta}}{\sqrt{2\pi r}},\quad n\in\mathbb Z}.

角度測度 dθd\theta を用いる表示では ψn=r φn=einθ/2π\psi_n=\sqrt r\,\varphi_n=e^{in\theta}/\sqrt{2\pi}。n=0n=0 の定数解も含む。非零のエネルギー準位では φn\varphi_n と φ−n\varphi_{-n} の規格化した線形結合も固有関数になる。

(4)​

En=ℏ2n22mr2,n∈Z.\boxed{E_n=\frac{\hbar^2n^2}{2mr^2},\quad n\in\mathbb Z}.

基底状態 n=0n=0 は非縮退、∣n∣≥1|n|\ge1 は ±n\pm n による2重縮退である。

(5)​

L^z=−iℏddθ,L^zφn=nℏφn.\widehat L_z=-i\hbar\frac{d}{d\theta},\qquad \widehat L_z\varphi_n=n\hbar\varphi_n.

従って φn\varphi_n では角運動量が nℏn\hbar に確定する。一方で

∣φn(θ)∣2r dθ=dθ2π|\varphi_n(\theta)|^2r\,d\theta=\frac{d\theta}{2\pi}

となり、粒子を見いだす確率は円周上で一様である。位置を角度方向に局在させるには、異なる角運動量固有状態の重ね合わせが必要になる。

Reference​

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