東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年秋季 数学B 第2問

标签：

• 东北大学
• 拉普拉斯变换
• 沃尔泰拉积分方程

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

2017年10月・2018年4月入学対象、2017年8月実施。

ラプラス変換を $\mathcal L[f(t)]=F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt$ と定義する。

1. 正の整数 $n$ について $f$ の $n$ 階微分のラプラス変換を導け。
2. (1) を用いて $\sin at,\cos at$（$a>0$）のラプラス変換を求めよ。
3. $G(s)=\mathcal L[g(t)]$ とするとき、$\mathcal L[\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)\,d\tau]=F(s)G(s)$ を導け。
4. ラプラス変換により次の積分方程式を解け。

$$x(t)-\int_0^t\sin 2(t-\tau)x(\tau)\,d\tau=\sin2t+\cos2t.$$

题目描述

本题为2017年8月实施、面向2017年10月及2018年4月入学的考试。

按 $\mathcal L[f]=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ 定义拉普拉斯变换。（1）推导 $n$ 阶导数的变换公式，$n$ 为正整数。（2）利用该公式求 $\sin at,\cos at$（$a>0$）的变换。（3）证明卷积定理。（4）用拉普拉斯变换求解 $x(t)-\int_0^t\sin2(t-\tau)x(\tau)d\tau=\sin2t+\cos2t$。

Kai

(1)

必要な微分・積分が存在し、$s$ の実部を十分大きく取るものとする。部分積分により

$$\mathcal L[f']=[f(t)e^{-st}]_0^\infty+sF(s)=sF(s)-f(0).$$

これを繰り返して

$$\boxed{\mathcal L[f^{(n)}]=s^nF(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{n-1-k}f^{(k)}(0)}.$$

各初期値は右極限で解釈する。

(2)

$f=\sin at$ は $f''=-a^2f,f(0)=0,f'(0)=a$ を満たすから $s^2F-a=-a^2F$。同様に $g=\cos at$ について $s^2G-s=-a^2G$。従って

$$\boxed{\mathcal L[\sin at]=\frac a{s^2+a^2},\qquad \mathcal L[\cos at]=\frac s{s^2+a^2}} \quad(\operatorname{Re}s>0).$$

(3)

絶対収束する範囲で積分順序を交換し、$u=t-\tau$ と置くと

$$\begin{aligned} \mathcal L[f*g] &=\int_0^\infty\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)e^{-st}\,d\tau\,dt\\ &=\int_0^\infty g(\tau)\int_\tau^\infty f(t-\tau)e^{-st}\,dt\,d\tau\\ &=\int_0^\infty g(\tau)e^{-s\tau}\,d\tau \int_0^\infty f(u)e^{-su}\,du =\boxed{F(s)G(s)}. \end{aligned}$$

(4)

$X(s)=\mathcal L[x(t)]$ とすれば

$$X-\frac2{s^2+4}X=\frac{s+2}{s^2+4},\qquad X=\frac{s+2}{s^2+2}.$$

逆変換して

$$\boxed{x(t)=\cos(\sqrt2t)+\sqrt2\sin(\sqrt2t)\quad(t\ge0)}.$$

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 8ページ