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東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年秋季 数学B 第1問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

2017年10月・2018年4月入学対象、2017年8月実施。

実関数 f(x)f(x) の複素フーリエ級数を

f(x)=∑n=−∞∞cneinx,cn=12π∫−ππf(x)e−inx dxf(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx},\qquad c_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx

とする。

  1. 実形式 f(x)=a0/2+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x)=a_0/2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx) の an,bna_n,b_n を cn,c−nc_n,c_{-n} で表せ。
  2. 整数 m,nm,n について (2π)−1∫−ππeimxe−inx dx=δmn(2\pi)^{-1}\int_{-\pi}^\pi e^{imx}e^{-inx}\,dx=\delta_{mn} を示せ。
  3. f(x)=∑k=14cos⁡kxf(x)=\sum_{k=1}^4\cos^k x をフーリエ級数に展開せよ。

题目描述​

本题为2017年8月实施、面向2017年10月及2018年4月入学的考试。

实函数的复傅里叶系数和展开如上。（1）以 cn,c−nc_n,c_{-n} 表示三角形式的 an,bna_n,b_n。（2）证明整数 m,nm,n 的复指数正交关系，即该积分在 m=nm=n 时为1，否则为0。（3）将 cos⁡x+cos⁡2x+cos⁡3x+cos⁡4x\cos x+\cos^2x+\cos^3x+\cos^4x 展开为傅里叶级数。

Kai​

(1)​

正負の添字を組にすると

cneinx+c−ne−inx=(cn+c−n)cos⁡nx+i(cn−c−n)sin⁡nx.c_ne^{inx}+c_{-n}e^{-inx} =(c_n+c_{-n})\cos nx+i(c_n-c_{-n})\sin nx.

よって

a0=2c0,an=cn+c−n,bn=i(cn−c−n) (n≥1).\boxed{a_0=2c_0,\quad a_n=c_n+c_{-n},\quad b_n=i(c_n-c_{-n})\ (n\ge1)}.

実関数では c−n=cn‾c_{-n}=\overline{c_n} だから an=2Re⁡cna_n=2\operatorname{Re}c_n、bn=−2Im⁡cnb_n=-2\operatorname{Im}c_n でもある。

(2)​

m=nm=n なら被積分関数は1で、積分は 2π2\pi。m≠nm\ne n なら k=m−n∈Z∖{0}k=m-n\in\mathbb Z\setminus\{0\} とおき

12π∫−ππeikx dx=eikπ−e−ikπ2πik=sin⁡kππk=0.\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{ikx}\,dx =\frac{e^{ik\pi}-e^{-ik\pi}}{2\pi ik} =\frac{\sin k\pi}{\pi k}=0.

従って示すべき値は δmn\boxed{\delta_{mn}}。

(3)​

倍角・三倍角の関係から

cos⁡2x=1+cos⁡2x2,cos⁡3x=3cos⁡x+cos⁡3x4,cos⁡4x=3+4cos⁡2x+cos⁡4x8.\cos^2x=\frac{1+\cos2x}2,\quad \cos^3x=\frac{3\cos x+\cos3x}4,\quad \cos^4x=\frac{3+4\cos2x+\cos4x}8.

これらを足して

f(x)=78+74cos⁡x+cos⁡2x+14cos⁡3x+18cos⁡4x.\boxed{f(x)=\frac78+\frac74\cos x+\cos2x+\frac14\cos3x+\frac18\cos4x}.

従って a0=a1=7/4,a2=1,a3=1/4,a4=1/8a_0=a_1=7/4,a_2=1,a_3=1/4,a_4=1/8、他の ana_n と全 bnb_n はゼロである。

Reference​

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