東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年8月実施 数学B 第1問

标签：

• 东北大学
• 傅里叶级数

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

1. 実関数 $f(x)$ の複素フーリエ級数は次のように与えられる。

$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx}$$

ただし，

$$c_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx$$

である。以下の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ のフーリエ級数は以下のように与えられる。

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

このとき，$a_n$ と $b_n$ をそれぞれ $c_n$ および $c_{-n}$ を用いて表せ。

(2) 次の関係を示せ。

$$\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{-inx}\,dx= \begin{cases}1&(m=n),\\0&(m\ne n).\end{cases}$$

ただし，$m$ と $n$ は整数である。

(3) $f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^4\cos^k x$ をフーリエ級数に展開せよ。

题目描述

1. 实函数 $f(x)$ 的复数形式傅里叶级数为

$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx},$$

其中

$$c_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx.$$

回答下列问题。

(1) $f(x)$ 的傅里叶级数也可表示为

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx).$$

分别用 $c_n$ 和 $c_{-n}$ 表示 $a_n$ 和 $b_n$。

(2) 证明下列关系，其中 $m,n$ 为整数。

$$\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{-inx}\,dx= \begin{cases}1&(m=n),\\0&(m\ne n).\end{cases}$$

(3) 将 $f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^4\cos^k x$ 展开为傅里叶级数。

Kai

(1)

正負の添字を組にすると

$$c_ne^{inx}+c_{-n}e^{-inx} =(c_n+c_{-n})\cos nx+i(c_n-c_{-n})\sin nx.$$

よって

$$\boxed{a_0=2c_0,\quad a_n=c_n+c_{-n},\quad b_n=i(c_n-c_{-n})\ (n\ge1)}.$$

実関数では $c_{-n}=\overline{c_n}$ だから $a_n=2\operatorname{Re}c_n$、$b_n=-2\operatorname{Im}c_n$ でもある。

(2)

$m=n$ なら被積分関数は1で、積分は $2\pi$。$m\ne n$ なら $k=m-n\in\mathbb Z\setminus\{0\}$ とおき

$$\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{ikx}\,dx =\frac{e^{ik\pi}-e^{-ik\pi}}{2\pi ik} =\frac{\sin k\pi}{\pi k}=0.$$

従って示すべき値は $\boxed{\delta_{mn}}$。

(3)

倍角・三倍角の関係から

$$\begin{gathered} \cos^2x=\frac{1+\cos2x}2,\\ \cos^3x=\frac{3\cos x+\cos3x}4,\\ \cos^4x=\frac{3+4\cos2x+\cos4x}8. \end{gathered}$$

これらを足して

$$\boxed{f(x)=\frac78+\frac74\cos x+\cos2x+\frac14\cos3x+\frac18\cos4x}.$$

従って $a_0=a_1=7/4,a_2=1,a_3=1/4,a_4=1/8$、他の $a_n$ と全 $b_n$ はゼロである。

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 7ページ