東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年8月実施 数学A 第4問

标签：

• 东北大学
• 参数曲面
• 曲面法向量
• 曲面积分

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

4. 図1に示すように，デカルト座標系 $(x,y,z)$ の基本ベクトルを $\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$，円筒座標系 $(r,\theta,z)$ の基本ベクトルを $\boldsymbol e_r,\boldsymbol e_\theta,\boldsymbol e_z$ とする。ただし，基本ベクトルの大きさは1である。曲面 $S$ がデカルト座標系で

$$S:\boldsymbol r=x\boldsymbol i+y\boldsymbol j+\sqrt{x^2+y^2+1}\,\boldsymbol k \quad(x^2+y^2\le R^2)$$

により与えられる。$\boldsymbol n$ を曲面 $S$ の単位法線ベクトルとするとき，以下の問いに答えよ。

(1) $\boldsymbol e_r,\boldsymbol e_\theta,\boldsymbol e_z$ を $\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$ および $\theta$ を用いて表せ。

(2) 次の各ベクトルを円筒座標系で表せ。

$$\frac{\partial\boldsymbol e_r}{\partial r},\quad \frac{\partial\boldsymbol e_r}{\partial\theta},\quad \frac{\partial\boldsymbol e_\theta}{\partial r},\quad \frac{\partial\boldsymbol e_\theta}{\partial\theta},\quad \frac{\partial\boldsymbol e_z}{\partial r},\quad \frac{\partial\boldsymbol e_z}{\partial\theta}$$

(3) 曲面 $S$ を円筒座標系で表せ。

(4) $\boldsymbol n$ を円筒座標系で求めよ。

(5) ベクトル場 $\boldsymbol A$ が

$$\boldsymbol A=\theta z\boldsymbol e_\theta+\sqrt{2r^2+1}\,\boldsymbol e_z$$

で与えられるとき，次の面積分を求めよ。

$$\int_S\boldsymbol A\cdot\boldsymbol n\,dS$$

题目描述

4. 如图1，设笛卡尔坐标系 $(x,y,z)$ 的基向量为 $\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$，柱坐标系 $(r,\theta,z)$ 的基向量为 $\boldsymbol e_r,\boldsymbol e_\theta,\boldsymbol e_z$。这些基向量的模均为1。曲面 $S$ 在笛卡尔坐标系中表示为

$$S:\boldsymbol r=x\boldsymbol i+y\boldsymbol j+\sqrt{x^2+y^2+1}\,\boldsymbol k \quad(x^2+y^2\le R^2).$$

设 $\boldsymbol n$ 为曲面 $S$ 的单位法向量，回答下列问题。

(1) 用 $\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$ 和 $\theta$ 表示 $\boldsymbol e_r,\boldsymbol e_\theta,\boldsymbol e_z$。

(2) 用柱坐标系表示下列各向量。

$$\frac{\partial\boldsymbol e_r}{\partial r},\quad \frac{\partial\boldsymbol e_r}{\partial\theta},\quad \frac{\partial\boldsymbol e_\theta}{\partial r},\quad \frac{\partial\boldsymbol e_\theta}{\partial\theta},\quad \frac{\partial\boldsymbol e_z}{\partial r},\quad \frac{\partial\boldsymbol e_z}{\partial\theta}$$

(3) 用柱坐标系表示曲面 $S$。

(4) 用柱坐标系求 $\boldsymbol n$。

(5) 给定向量场

$$\boldsymbol A=\theta z\boldsymbol e_\theta+\sqrt{2r^2+1}\,\boldsymbol e_z,$$

求下列曲面积分。

$$\int_S\boldsymbol A\cdot\boldsymbol n\,dS$$

图1给出了笛卡尔坐标系及柱坐标系的各个基向量。

Kai

(1), (2)

$$\boxed{\boldsymbol e_r=\cos\theta\boldsymbol i+\sin\theta\boldsymbol j,\quad \boldsymbol e_\theta=-\sin\theta\boldsymbol i+\cos\theta\boldsymbol j,\quad \boldsymbol e_z=\boldsymbol k}.$$

従って

$$\boxed{\partial_r\boldsymbol e_r=\partial_r\boldsymbol e_\theta=\partial_r\boldsymbol e_z=\boldsymbol0},$$

$$\boxed{\partial_\theta\boldsymbol e_r=\boldsymbol e_\theta,\quad \partial_\theta\boldsymbol e_\theta=-\boldsymbol e_r,\quad \partial_\theta\boldsymbol e_z=\boldsymbol0}.$$

(3), (4)

$$\boxed{\boldsymbol r=r\boldsymbol e_r+\sqrt{r^2+1}\boldsymbol e_z, \quad0\le r\le R,\quad0\le\theta<2\pi}.$$

接ベクトルから

$$\boldsymbol r_r=\boldsymbol e_r+\frac r{\sqrt{r^2+1}}\boldsymbol e_z,\qquad \boldsymbol r_\theta=r\boldsymbol e_\theta,$$

$$\boldsymbol r_r\times\boldsymbol r_\theta =-\frac{r^2}{\sqrt{r^2+1}}\boldsymbol e_r+r\boldsymbol e_z.$$

原題では法線の向きが指定されていない。上向きに取れば

$$\boxed{\boldsymbol n=\frac{-r\boldsymbol e_r+\sqrt{r^2+1}\boldsymbol e_z}{\sqrt{2r^2+1}}}.$$

下向きなら全体の符号を逆にする。$r=0$ では連続延長により $\boldsymbol n=\boldsymbol e_z$。

(5)

上向きの法線を用いる。$\boldsymbol e_\theta$ 成分は法線と直交するので

$$\boldsymbol A\cdot(\boldsymbol r_r\times\boldsymbol r_\theta)=r\sqrt{2r^2+1}.$$

従って

$$\int_S\boldsymbol A\cdot\boldsymbol n\,dS =2\pi\int_0^Rr\sqrt{2r^2+1}\,dr =\boxed{\frac\pi3\left[(2R^2+1)^{3/2}-1\right]}.$$

下向きの法線を選んだ場合は、この値の負号を取る。

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 5ページ