東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年秋季 数学A 第4問

标签：

• 东北大学
• 参数曲面
• 曲面法向量
• 曲面积分

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

2017年10月・2018年4月入学対象、2017年8月実施。

デカルト座標 $(x,y,z)$ の単位基本ベクトルを $\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$、円筒座標 $(r,\theta,z)$ の単位基本ベクトルを $\boldsymbol e_r,\boldsymbol e_\theta,\boldsymbol e_z$ とする。$\theta$ は $+x$ 方向から $+y$ 方向へ測る角である。曲面 $S$ は

$$\boldsymbol r=x\boldsymbol i+y\boldsymbol j+\sqrt{x^2+y^2+1}\boldsymbol k, \qquad x^2+y^2\le R^2$$

で与えられ、$\boldsymbol n$ をその単位法線とする。

1. $\boldsymbol e_r,\boldsymbol e_\theta,\boldsymbol e_z$ を $\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k,\theta$ で表せ。
2. 各基本ベクトルの $r,\theta$ による偏微分を円筒座標系で表せ。
3. 曲面 $S$ を円筒座標系で表せ。
4. $\boldsymbol n$ を円筒座標系で求めよ。
5. $\boldsymbol A=\theta z\boldsymbol e_\theta+\sqrt{2r^2+1}\boldsymbol e_z$ のとき、$\int_S\boldsymbol A\cdot\boldsymbol n\,dS$ を求めよ。

题目描述

本题为2017年8月实施、面向2017年10月及2018年4月入学的考试。

直角坐标的单位基向量为 $\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$，柱坐标的单位基向量为 $\boldsymbol e_r,\boldsymbol e_\theta,\boldsymbol e_z$，$\theta$ 从 $+x$ 向 $+y$ 计量。曲面为 $z=\sqrt{x^2+y^2+1}$、$x^2+y^2\le R^2$，单位法线为 $\boldsymbol n$。（1）用直角坐标基和 $\theta$ 表示柱坐标基。（2）求三个基向量分别对 $r,\theta$ 的偏导。（3）用柱坐标表示曲面。（4）求单位法线。（5）对 $\boldsymbol A=\theta z\boldsymbol e_\theta+\sqrt{2r^2+1}\boldsymbol e_z$，求通量积分 $\int_S\boldsymbol A\cdot\boldsymbol n\,dS$。

Kai

(1), (2)

$$\boxed{\boldsymbol e_r=\cos\theta\boldsymbol i+\sin\theta\boldsymbol j,\quad \boldsymbol e_\theta=-\sin\theta\boldsymbol i+\cos\theta\boldsymbol j,\quad \boldsymbol e_z=\boldsymbol k}.$$

従って

$$\boxed{\partial_r\boldsymbol e_r=\partial_r\boldsymbol e_\theta=\partial_r\boldsymbol e_z=\boldsymbol0},$$

$$\boxed{\partial_\theta\boldsymbol e_r=\boldsymbol e_\theta,\quad \partial_\theta\boldsymbol e_\theta=-\boldsymbol e_r,\quad \partial_\theta\boldsymbol e_z=\boldsymbol0}.$$

(3), (4)

$$\boxed{\boldsymbol r=r\boldsymbol e_r+\sqrt{r^2+1}\boldsymbol e_z, \quad0\le r\le R,\quad0\le\theta<2\pi}.$$

接ベクトルから

$$\boldsymbol r_r=\boldsymbol e_r+\frac r{\sqrt{r^2+1}}\boldsymbol e_z,\qquad \boldsymbol r_\theta=r\boldsymbol e_\theta,$$

$$\boldsymbol r_r\times\boldsymbol r_\theta =-\frac{r^2}{\sqrt{r^2+1}}\boldsymbol e_r+r\boldsymbol e_z.$$

原題では法線の向きが指定されていない。上向きに取れば

$$\boxed{\boldsymbol n=\frac{-r\boldsymbol e_r+\sqrt{r^2+1}\boldsymbol e_z}{\sqrt{2r^2+1}}}.$$

下向きなら全体の符号を逆にする。$r=0$ では連続延長により $\boldsymbol n=\boldsymbol e_z$。

(5)

上向きの法線を用いる。$\boldsymbol e_\theta$ 成分は法線と直交するので

$$\boldsymbol A\cdot(\boldsymbol r_r\times\boldsymbol r_\theta)=r\sqrt{2r^2+1}.$$

従って

$$\int_S\boldsymbol A\cdot\boldsymbol n\,dS =2\pi\int_0^Rr\sqrt{2r^2+1}\,dr =\boxed{\frac\pi3\left[(2R^2+1)^{3/2}-1\right]}.$$

下向きの法線を選んだ場合は、この値の負号を取る。

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 5ページ