東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年8月実施 数学A 第3問

标签：

• 东北大学
• 置换矩阵
• 特征值与特征向量

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

3. $n\times n$ 行列 $A$ および $J$ が

$$A=\begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ a_n&a_1&a_2&\cdots&a_{n-1}\\ a_{n-1}&a_n&a_1&\cdots&a_{n-2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_2&a_3&a_4&\cdots&a_1 \end{pmatrix}, \qquad J=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0&0\\ 0&0&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&0&1\\ 1&0&0&\cdots&0&0 \end{pmatrix}$$

$(a_i\ne0,\ i=1,2,\ldots,n)$ のように与えられる。$I$ を $n$ 次の単位行列とするとき，以下の問いに答えよ。

(1) $n=4$ のとき，$J^2$ および $J^3$ を求めよ。

(2) $a_1I+a_2J+a_3J^2+\cdots+a_nJ^{n-1}$ を $A$ を用いて表せ。

(3) 行列式 $|J-\omega I|$ を求めよ。

(4) $J$ の固有値を $\omega_k\ (k=1,2,\ldots,n)$ とするとき，$A$ の固有値 $\lambda_k\ (k=1,2,\ldots,n)$ が

$$\lambda_k=a_1+a_2\omega_k+a_3\omega_k^2+\cdots+a_n\omega_k^{n-1}$$

となることを示せ。

题目描述

3. $n\times n$ 矩阵 $A$ 和 $J$ 给定如下：

$$A=\begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ a_n&a_1&a_2&\cdots&a_{n-1}\\ a_{n-1}&a_n&a_1&\cdots&a_{n-2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_2&a_3&a_4&\cdots&a_1 \end{pmatrix}, \qquad J=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0&0\\ 0&0&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&0&1\\ 1&0&0&\cdots&0&0 \end{pmatrix},$$

其中 $a_i\ne0\ (i=1,2,\ldots,n)$。设 $I$ 为 $n$ 阶单位矩阵，回答下列问题。

(1) 当 $n=4$ 时，求 $J^2$ 和 $J^3$。

(2) 用 $A$ 表示 $a_1I+a_2J+a_3J^2+\cdots+a_nJ^{n-1}$。

(3) 求行列式 $|J-\omega I|$。

(4) 设 $J$ 的特征值为 $\omega_k\ (k=1,2,\ldots,n)$，证明 $A$ 的特征值 $\lambda_k\ (k=1,2,\ldots,n)$ 满足

$$\lambda_k=a_1+a_2\omega_k+a_3\omega_k^2+\cdots+a_n\omega_k^{n-1}.$$

Kai

(1)

$J$ は各成分を一つ巡回移動させるので

$$\boxed{J^2=\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix},\qquad J^3=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}.$$

(2)

$J^j$ の第 $i$ 行では、第 $i+j$ 列（添字は $n$ を法とする）だけが1である。従って各成分を比較して

$$\boxed{a_1I+a_2J+\cdots+a_nJ^{n-1}=A}.$$

(3)

第1列で余因子展開すると、対角成分からの寄与が $(-\omega)^n$、左下の1からの寄与が $(-1)^{n+1}$ である。よって

$$\boxed{|J-\omega I|=(-1)^n(\omega^n-1)}.$$

(4)

固有値は $\omega_k=e^{2\pi ik/n}$（$k=1,\ldots,n$）。 $v_k=(1,\omega_k,\ldots,\omega_k^{n-1})^T$ とすれば $\omega_k^n=1$ より $Jv_k=\omega_kv_k$。従って

$$Av_k=\sum_{j=1}^na_jJ^{j-1}v_k =\left(\sum_{j=1}^na_j\omega_k^{j-1}\right)v_k.$$

さらに相異なる $\omega_k$ からなるヴァンデルモンド行列 $(v_1\ \cdots\ v_n)$ は正則なので、これらは固有ベクトルの基底を作る。ゆえに重複度を含む全固有値は

$$\boxed{\lambda_k=a_1+a_2\omega_k+\cdots+a_n\omega_k^{n-1}\quad(k=1,\ldots,n)}.$$

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 4ページ