東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年秋季 数学A 第2問

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• 东北大学
• 一阶齐次常微分方程
• 二阶线性常微分方程
• 常微分方程组

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

2017年10月・2018年4月入学対象、2017年8月実施。

(1)

次の常微分方程式の一般解を求めよ。

a) $(x^2-y^2)\,dy/dx=2xy$

b) $d^2y/dx^2-2\,dy/dx+y=e^{-x}\cos2x+2x$

(2)

次の連立微分方程式の一般解を求めよ。

$$\frac{dy}{dx}-2\frac{dz}{dx}+3z=0,\qquad \frac{dy}{dx}-4y-3z=0.$$

题目描述

本题为2017年8月实施、面向2017年10月及2018年4月入学的考试。

（1）求 a) $(x^2-y^2)y'=2xy$；b) $y''-2y'+y=e^{-x}\cos2x+2x$ 的通解。（2）求联立方程 $y'-2z'+3z=0$、$y'-4y-3z=0$ 的通解。

Kai

(1)

a)

$y\ne0$ の区間で元の式を微分形式にし、$y^2$ で割ると

$$\frac{2x}{y}\,dx+\left(1-\frac{x^2}{y^2}\right)dy =d\left(\frac{x^2}{y}+y\right)=0.$$

従って

$$\boxed{x^2+y^2=Cy}.$$

これは解曲線の表示で、$y(x)$ として微分可能な枝を取る。割り算で除外した $\boxed{y=0}$ も元の方程式を満たす。

b)

特性方程式は $(\lambda-1)^2=0$ だから、斉次解は $(C_1+C_2x)e^x$。 $2x$ に対する特解を $ax+b$ と置くと $a=2,b=4$。 $e^{-x}\cos2x$ に対して $e^{-x}(A\cos2x+B\sin2x)$ を代入すると $A=0,B=-1/8$。従って

$$\boxed{y=(C_1+C_2x)e^x-\frac18e^{-x}\sin2x+2x+4}.$$

(2)

第2式を第1式に代入して

$$\frac d{dx}\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4&3\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}.$$

係数行列の固有値は $1,6$、対応する固有ベクトルは $(1,-1)^T,(3,2)^T$。従って

$$\boxed{y=C_1e^x+3C_2e^{6x},\qquad z=-C_1e^x+2C_2e^{6x}}.$$

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 3ページ