東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年8月実施 数学A 第2問

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• 东北大学
• 一阶齐次常微分方程
• 二阶线性常微分方程
• 常微分方程组

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

2. 以下の問いに答えよ。

(1) 次の常微分方程式の一般解を求めよ。

a)

$$(x^2-y^2)\frac{dy}{dx}=2xy$$

b)

$$\frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}+y=e^{-x}\cos2x+2x$$

(2) 次の $y$ および $z$ に関する連立常微分方程式の一般解を求めよ。

$$\begin{cases} \dfrac{dy}{dx}-2\dfrac{dz}{dx}+3z=0,\\[4pt] \dfrac{dy}{dx}-4y-3z=0. \end{cases}$$

题目描述

2. 回答下列问题。

(1) 求下列常微分方程的通解。

a)

$$(x^2-y^2)\frac{dy}{dx}=2xy$$

b)

$$\frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}+y=e^{-x}\cos2x+2x$$

(2) 求下列关于 $y$ 和 $z$ 的联立常微分方程的通解。

$$\begin{cases} \dfrac{dy}{dx}-2\dfrac{dz}{dx}+3z=0,\\[4pt] \dfrac{dy}{dx}-4y-3z=0. \end{cases}$$

Kai

(1)

a)

$y\ne0$ の区間で元の式を微分形式にし、$y^2$ で割ると

$$\frac{2x}{y}\,dx+\left(1-\frac{x^2}{y^2}\right)dy =d\left(\frac{x^2}{y}+y\right)=0.$$

従って

$$\boxed{x^2+y^2=Cy}.$$

これは解曲線の表示で、$y(x)$ として微分可能な枝を取る。割り算で除外した $\boxed{y=0}$ も元の方程式を満たす。

b)

特性方程式は $(\lambda-1)^2=0$ だから、斉次解は $(C_1+C_2x)e^x$。 $2x$ に対する特解を $ax+b$ と置くと $a=2,b=4$。 $e^{-x}\cos2x$ に対して $e^{-x}(A\cos2x+B\sin2x)$ を代入すると $A=0,B=-1/8$。従って

$$\boxed{y=(C_1+C_2x)e^x-\frac18e^{-x}\sin2x+2x+4}.$$

(2)

第2式を第1式に代入して

$$\frac d{dx}\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4&3\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}.$$

係数行列の固有値は $1,6$、対応する固有ベクトルは $(1,-1)^T,(3,2)^T$。従って

$$\boxed{y=C_1e^x+3C_2e^{6x},\qquad z=-C_1e^x+2C_2e^{6x}}.$$

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 3ページ