東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年8月実施 数学A 第1問

标签：

• 东北大学
• 泰勒级数
• 第一类曲线积分

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

1. 以下の問いに答えよ。

(1) 次の関数の $x=0$ の近傍における3次までのテイラー展開を求めよ。

• a) $e^x\cos x$
• b) $\log_e(1+\sin x)$

(2) $C_1$ を点 $(0,0)$ と点 $(1,2)$ を結ぶ線分とするとき，次の $C_1$ に沿った線積分を求めよ。ただし，$s$ は $C_1$ の弧長変数である。

$$\int_{C_1}(x^2-y)\,ds$$

(3) $C_2$ を次の放物線の一部

$$C_2:y=\frac12x^2\quad(0\le x\le1)$$

とするとき，次の $C_2$ に沿った線積分を求めよ。ただし，$s$ は $C_2$ の弧長変数である。

$$\int_{C_2}(x+1)\,ds$$

题目描述

1. 回答下列问题。

(1) 求下列函数在 $x=0$ 附近展开至三次项的泰勒展开。

• a) $e^x\cos x$
• b) $\log_e(1+\sin x)$

(2) 设 $C_1$ 为连接点 $(0,0)$ 与 $(1,2)$ 的线段，求下列沿 $C_1$ 的线积分，其中 $s$ 为 $C_1$ 的弧长变量。

$$\int_{C_1}(x^2-y)\,ds$$

(3) 设 $C_2$ 为下列抛物线的一部分：

$$C_2:y=\frac12x^2\quad(0\le x\le1).$$

求下列沿 $C_2$ 的线积分，其中 $s$ 为 $C_2$ 的弧长变量。

$$\int_{C_2}(x+1)\,ds$$

Kai

(1)

a)

$$\begin{gathered} e^x\cos x=\left(1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}6\right)\left(1-\frac{x^2}2\right)+O(x^4)\\ =\boxed{1+x-\frac{x^3}3+O(x^4)}. \end{gathered}$$

b)

$\sin x=x-x^3/6+O(x^5)$ を $\log(1+u)=u-u^2/2+u^3/3+O(u^4)$ に代入して

$$\boxed{\log(1+\sin x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}6+O(x^4)}.$$

(2)

$(x,y)=(t,2t)$、$0\le t\le1$ とおけば $ds=\sqrt5\,dt$。従って

$$\int_{C_1}(x^2-y)\,ds=\sqrt5\int_0^1(t^2-2t)\,dt =\boxed{-\frac{2\sqrt5}{3}}.$$

(3)

$dy/dx=x$ より $ds=\sqrt{1+x^2}\,dx$。したがって

$$\int_{C_2}(x+1)\,ds=\int_0^1(x+1)\sqrt{1+x^2}\,dx.$$

原始関数は

$$\frac{(1+x^2)^{3/2}}3+\frac12\left[x\sqrt{1+x^2}+\log\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\right].$$

上下限を代入して

$$\boxed{\frac{7\sqrt2}{6}-\frac13+\frac12\log(1+\sqrt2)}.$$

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 2ページ