東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年秋季 材料物性学 第2問

标签：

• 东北大学
• 菲克扩散与阿伦尼乌斯定律

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

2017年10月・2018年4月入学対象、2017年8月実施。

$973\ \mathrm K$ に保った鉄板の片面を浸炭し、他面を脱炭して炭素の定常拡散を生じさせる。浸炭側表面から板厚方向を $x$ とし、$x=5.0\times10^{-3}\ \mathrm m$ での炭素濃度は $1.2\ \mathrm{kg/m^3}$、$x=1.0\times10^{-2}\ \mathrm m$ では $0.80\ \mathrm{kg/m^3}$、脱炭側表面では0である。拡散係数は $D=3.0\times10^{-11}\ \mathrm{m^2/s}$ とする。

1. 単位面積・単位時間当たりの炭素の移動量を求めよ。
2. $x=1.0\times10^{-3}\ \mathrm m$ の炭素濃度を求めよ。
3. 鉄板の厚さを求めよ。
4. $D=D_0\exp\{-Q/(RT)\}$、$D_0=6.0\times10^{-7}\ \mathrm{m^2/s}$ として拡散の活性化エネルギー $Q$ を求めよ。
5. 拡散係数を $973\ \mathrm K$ のときの半分にする温度を求めよ。

$R=8.31\ \mathrm{J/(mol\,K)}$、$e=2.72$、$\ln2=0.69$、$\ln10=2.30$ を用いてよい。

题目描述

本题为2017年8月实施、面向2017年10月及2018年4月入学的考试。

铁板在 $973\ \mathrm K$ 下稳态渗碳，渗碳面起算的深度 $x=5\ \mathrm{mm}$ 处浓度为 $1.2\ \mathrm{kg/m^3}$、$10\ \mathrm{mm}$ 处为 $0.80\ \mathrm{kg/m^3}$，另一表面完全脱碳。给定 $D=3.0\times10^{-11}\ \mathrm{m^2/s}$。（1）求扩散通量；（2）求深度 $1\ \mathrm{mm}$ 处浓度；（3）求板厚；（4）利用阿伦尼乌斯关系及 $D_0=6.0\times10^{-7}\ \mathrm{m^2/s}$ 求活化能；（5）求扩散系数减半时的温度。

Kai

(1)

定常1次元拡散では $d^2C/dx^2=0$。濃度勾配は

$\frac{dC}{dx}=\frac{0.80-1.2}{0.010-0.005}=-80\ \mathrm{kg/m^4}.$

フィックの第1法則より

$\boxed{J=-D\frac{dC}{dx}=2.4\times10^{-9}\ \mathrm{kg/(m^2\,s)}}.$

方向は浸炭面から脱炭面への $+x$ 方向である。

(2)

濃度分布は、$x$ をmで表して $C(x)=1.6-80x\ \mathrm{kg/m^3}$。従って

$\boxed{C(0.001)=1.52\ \mathrm{kg/m^3}\simeq1.5\ \mathrm{kg/m^3}}.$

(3)

脱炭面で $C=0$ だから、板厚は

$\boxed{h=\frac{1.6}{80}=2.0\times10^{-2}\ \mathrm m=20\ \mathrm{mm}}.$

(4)

$Q=RT\ln\frac{D_0}{D}=8.31\times973\times\ln(2.0\times10^4).$

$\ln(2\times10^4)=0.69+4\times2.30=9.89$ より

$\boxed{Q\simeq8.0\times10^4\ \mathrm{J/mol}=80\ \mathrm{kJ/mol}}.$

(5)

$\ln\frac{D(T')}{D(973)}=-\frac QR\left(\frac1{T'}-\frac1{973}\right)=-\ln2.$

従って

$\boxed{T'=\frac{973\times9.89}{9.89+0.69}\simeq9.1\times10^2\ \mathrm K}.$

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 22ページ