東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年8月実施 材料物性学 第2問

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• 菲克扩散与阿伦尼乌斯定律

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

2. $973\,\mathrm{K}$ で，鉄板の片面が浸炭雰囲気，反対面が脱炭雰囲気にさらされていると仮定する。ここで炭素拡散の定常状態が成り立っており，炭素濃度は鉄板の浸炭側表面から深さ $5.0\times10^{-3}\,\mathrm{m}$ 地点では $1.2\,\mathrm{kg/m^3}$，深さ $1.0\times10^{-2}\,\mathrm{m}$ 地点では $0.8\,\mathrm{kg/m^3}$ であった。脱炭雰囲気にさらされた表面直下の炭素濃度は零であったとする。この温度における鉄中の炭素の拡散係数は $3.0\times10^{-11}\,\mathrm{m^2/s}$ とする。以下の問いに答えよ。必要であれば気体定数 $R=8.31\,\mathrm{J/(mol\cdot K)}$，$e\fallingdotseq2.72$，$\ln2=0.69$，$\ln10=2.30$ を用いよ。

(1) 鉄板を通過する炭素の流束を求めよ。

(2) 浸炭側表面から深さ $1.0\times10^{-3}\,\mathrm{m}$ 地点の炭素濃度を求めよ。

(3) 鉄板の厚さを求めよ。

(4) 振動因子を $6.0\times10^{-7}\,\mathrm{m^2/s}$ とする。この時の拡散の活性化エネルギーを求めよ。

(5) 炭素の拡散係数が $973\,\mathrm{K}$ における拡散係数の $1/2$ となる温度を求めよ。

题目描述

2. 假设在 $973\,\mathrm{K}$ 下，铁板的一面暴露于渗碳气氛，另一面暴露于脱碳气氛。碳扩散已达到稳态。在距铁板渗碳侧表面深度 $5.0\times10^{-3}\,\mathrm{m}$ 处，碳浓度为 $1.2\,\mathrm{kg/m^3}$；在深度 $1.0\times10^{-2}\,\mathrm{m}$ 处，碳浓度为 $0.8\,\mathrm{kg/m^3}$。设脱碳气氛一侧紧贴表面下方的碳浓度为零。该温度下碳在铁中的扩散系数为 $3.0\times10^{-11}\,\mathrm{m^2/s}$。回答下列问题。必要时使用气体常数 $R=8.31\,\mathrm{J/(mol\cdot K)}$，$e\fallingdotseq2.72$，$\ln2=0.69$，$\ln10=2.30$。

(1) 求穿过铁板的碳通量。

(2) 求距渗碳侧表面深度 $1.0\times10^{-3}\,\mathrm{m}$ 处的碳浓度。

(3) 求铁板厚度。

(4) 设频率因子为 $6.0\times10^{-7}\,\mathrm{m^2/s}$，求扩散的活化能。

(5) 求碳的扩散系数等于 $973\,\mathrm{K}$ 时扩散系数的一半时的温度。

Kai

(1)

定常1次元拡散では $d^2C/dx^2=0$。濃度勾配は

$$\frac{dC}{dx}=\frac{0.80-1.2}{0.010-0.005}=-80\ \mathrm{kg/m^4}.$$

フィックの第1法則より

$$\boxed{J=-D\frac{dC}{dx}=2.4\times10^{-9}\ \mathrm{kg/(m^2\,s)}}.$$

方向は浸炭面から脱炭面への $+x$ 方向である。

(2)

濃度分布は、$x$ をmで表して $C(x)=1.6-80x\ \mathrm{kg/m^3}$。従って

$$\boxed{C(0.001)=1.52\ \mathrm{kg/m^3}\simeq1.5\ \mathrm{kg/m^3}}.$$

(3)

脱炭面で $C=0$ だから、板厚は

$$\boxed{h=\frac{1.6}{80}=2.0\times10^{-2}\ \mathrm m=20\ \mathrm{mm}}.$$

(4)

$$Q=RT\ln\frac{D_0}{D}=8.31\times973\times\ln(2.0\times10^4).$$

$\ln(2\times10^4)=0.69+4\times2.30=9.89$ より

$$\boxed{Q\simeq8.0\times10^4\ \mathrm{J/mol}=80\ \mathrm{kJ/mol}}.$$

(5)

$$\ln\frac{D(T')}{D(973)}=-\frac QR\left(\frac1{T'}-\frac1{973}\right)=-\ln2.$$

従って

$$\boxed{T'=\frac{973\times9.89}{9.89+0.69}\simeq9.1\times10^2\ \mathrm K}.$$

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 22ページ