東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年8月実施 材料力学 第2問

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• 东北大学
• 梁的挠度

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

2. 長さ $L$ の真直ばり AB が，図2に示すように，C 点で鉛直下向きに集中荷重 $W$ の作用を受けている。AC と BC の長さは，それぞれ $a$ および $b$ である。また，はりの曲げこわさは $EI$ とし，はりの自重は無視できるものとする。以下の問いに答えよ。

(1) 図2(a)のように，はりが両端 A，B で単純支持されている。C 点におけるはりのたわみ $y_c$ を求めよ。

(2) 図2(b)のように，はりが両端 A，B で，剛体の天井に鉛直方向に固定された初期長さが同じ2つのばね AD と BE により支持されている。2つのばねのばね定数を $k$ とし，ばねの変形は微小であるものとする。ばねの自重は無視できるものとして，C 点の鉛直変位 $\delta_c$ を求めよ。

题目描述

2. 长度为 $L$ 的直梁 AB 如图2所示，在 C 点受到竖直向下的集中载荷 $W$。AC、BC 的长度分别为 $a,b$。梁的抗弯刚度为 $EI$，忽略梁的自重。回答下列问题。

(1) 如图2(a)，梁在 A、B 两端简支。求 C 点的挠度 $y_c$。

(2) 如图2(b)，梁的 A、B 两端分别由初始长度相同的两根弹簧 AD、BE 支承，弹簧竖直固定于刚性天花板。两根弹簧的弹簧常数均为 $k$，弹簧变形为微小变形。忽略弹簧自重，求 C 点的竖直位移 $\delta_c$。

Kai

(1)

上向き反力は $R_A=Wb/L,R_B=Wa/L$。下向きたわみを正とし、$x$ をAから測ると

$$M_1=\frac{Wb}{L}x\ (x\le a),\qquad M_2=\frac{Wa}{L}(L-x)\ (x\ge a).$$

$EIy''=-M$ を積分し、$y(0)=y(L)=0$、$x=a$ での $y,y'$ の連続条件を課す。左区間では

$$y_1(x)=\frac{Wbx}{6EIL}(L^2-b^2-x^2).$$

従って

$$y_C=\frac{Wab}{6EIL}(L^2-b^2-a^2) =\boxed{\frac{Wa^2b^2}{3EIL}}\quad\text{（下向き）}.$$

(2)

静定なのでばね反力も $Wb/L,Wa/L$。端点沈下は

$$\delta_A=\frac{Wb}{kL},\qquad\delta_B=\frac{Wa}{kL}.$$

端点沈下を結ぶ直線のC点変位は $(b/L)\delta_A+(a/L)\delta_B$。これと曲げたわみを重ね合わせて

$$\boxed{\delta_C=\frac{Wa^2b^2}{3EIL}+\frac{W(a^2+b^2)}{kL^2}}\quad\text{（下向き）}.$$

$k\to\infty$ で (1) の結果に一致する。

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 16ページ