東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年秋季 材料力学 第2問

标签：

• 东北大学
• 梁的挠度

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

2017年10月・2018年4月入学対象、2017年8月実施。

長さ $L$、曲げ剛性 $EI$ の真直ばり AB の点 C に下向き荷重 $W$ を加える。$AC=a,CB=b,L=a+b$ とし、自重を無視する。

1. A、Bで単純支持した場合のC点たわみ $y_C$ を求めよ。
2. A、Bを剛体天井から、自然長が等しくばね定数がともに $k$ の鉛直ばねで吊るす。ばねの微小変形を仮定し、C点の鉛直変位 $\delta_C$ を求めよ。

题目描述

本题为2017年8月实施、面向2017年10月及2018年4月入学的考试。

无自重直梁 AB 长 $L$，弯曲刚度 $EI$，在C点受向下力 $W$，$AC=a,CB=b,L=a+b$。（1）两端简支时求C点挠度。（2）两端各由自然长度相同、刚度同为 $k$ 的竖直弹簧悬挂于刚性天花板，假定微小变形，求C点总竖向位移。

Kai

(1)

上向き反力は $R_A=Wb/L,R_B=Wa/L$。下向きたわみを正とし、$x$ をAから測ると

$$M_1=\frac{Wb}{L}x\ (x\le a),\qquad M_2=\frac{Wa}{L}(L-x)\ (x\ge a).$$

$EIy''=-M$ を積分し、$y(0)=y(L)=0$、$x=a$ での $y,y'$ の連続条件を課す。左区間では

$$y_1(x)=\frac{Wbx}{6EIL}(L^2-b^2-x^2).$$

従って

$$y_C=\frac{Wab}{6EIL}(L^2-b^2-a^2) =\boxed{\frac{Wa^2b^2}{3EIL}}\quad\text{（下向き）}.$$

(2)

静定なのでばね反力も $Wb/L,Wa/L$。端点沈下は

$$\delta_A=\frac{Wb}{kL},\qquad\delta_B=\frac{Wa}{kL}.$$

端点沈下を結ぶ直線のC点変位は $(b/L)\delta_A+(a/L)\delta_B$。これと曲げたわみを重ね合わせて

$$\boxed{\delta_C=\frac{Wa^2b^2}{3EIL}+\frac{W(a^2+b^2)}{kL^2}}\quad\text{（下向き）}.$$

$k\to\infty$ で (1) の結果に一致する。

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 16ページ