東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年秋季 材料力学 第1問

标签：

• 东北大学
• 扭转

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

2017年10月・2018年4月入学対象、2017年8月実施。

段付き丸軸 ABCD の各区間 AB、BC、CD の長さはすべて $L$。AB は外径 $2d$・内径 $d$ の中空軸、BC は直径 $2d$ の中実軸、CD は直径 $d$ の中実軸であり、せん断弾性係数はすべて $G$ である。

1. A端固定、D端にねじりモーメント $M_t$ を加える。各区間の比ねじれ角とD端のねじれ角を求めよ。
2. A、D両端固定、C点に $M_t$ を加える。両端の反ねじりモーメント $M_{tA},M_{tD}$ とC点のねじれ角を求めよ。

题目描述

本题为2017年8月实施、面向2017年10月及2018年4月入学的考试。

阶梯圆轴 ABCD 的 AB、BC、CD 各长 $L$，分别为外径 $2d$、内径 $d$ 的空心轴，直径 $2d$ 的实心轴，以及直径 $d$ 的实心轴；剪切模量均为 $G$。（1）A端固定，D端施加扭矩 $M_t$，求各段单位长度扭转角及D端总转角。（2）A、D两端固定，C点施加 $M_t$，求两端反扭矩及C点转角。

Kai

(1)

断面二次極モーメントは

$$J_{AB}=\frac{15\pi d^4}{32},\qquad J_{BC}=\frac{16\pi d^4}{32},\qquad J_{CD}=\frac{\pi d^4}{32}.$$

全区間を伝わるトルクが $M_t$ だから、比ねじれ角 $\theta=M_t/(GJ)$ より

$$\boxed{\theta_{AB}=\frac{32M_t}{15\pi Gd^4},\quad \theta_{BC}=\frac{2M_t}{\pi Gd^4},\quad \theta_{CD}=\frac{32M_t}{\pi Gd^4}}.$$

各区間の回転角を足して

$$\boxed{\varphi_D=L(\theta_{AB}+\theta_{BC}+\theta_{CD}) =\frac{542M_tL}{15\pi Gd^4}}.$$

(2)

反トルクは加えた $M_t$ と逆向きの大きさで表す。つり合いと適合条件は

$$M_{tA}+M_{tD}=M_t,$$

$$\varphi_C=\frac{M_{tA}L}{G}\left(\frac1{J_{AB}}+\frac1{J_{BC}}\right) =\frac{M_{tD}L}{GJ_{CD}}.$$

後式から $M_{tD}=31M_{tA}/240$。従って

$$\boxed{M_{tA}=\frac{240}{271}M_t,\qquad M_{tD}=\frac{31}{271}M_t},$$

$$\boxed{\varphi_C=\frac{992M_tL}{271\pi Gd^4}}.$$

Cの回転方向は加えたモーメントと同じである。

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 15ページ